Филиппов №575 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

10.10.2010

Филиппов №575

Filed under: диф. уравнения — Shine @ 2:17 пп

Решить уравнение:

$\displaystyle y''-2y'+y=\frac{e^x}{x}$

(1)

Начнём с решения однородного уравнения: $y_0''-2y_0'+y_0=0$ . Составим для него характеристическое уравнение: $\lambda^2-2\lambda+1=0$ . Оно имеет один корень $\lambda=1$ кратности 2; частные решения однородного уравнения будут такими: $y_{01}=e^x$ , $y_{02}=xe^x$ . Решение неоднородного уравнения (1) мы, следовательно, будем искать в виде

$\displaystyle y=\varphi_1(x)e^x+\varphi_2(x)xe^x.$

(2)

Для нахождения функций $\varphi_1(x)$ и $\varphi_2(x)$ необходимо решить систему

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \sum\limits_{k=1}^n\varphi'_k y_{0k}^{(j... ...m\limits_{k=1}^n\varphi'_k y_{0k}^{(n-1)}=\frac{f(x)}{a_n}. \end{array} \right.$

(3)

В нашем случае $n=2$ , $j=0$ , и система (3) будет иметь вид

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} \sum\limits_{k=1}^2\varphi'_k y_{0k... ...phi'_1e^x+\varphi'_2(x+1)e^x=\frac{e^x}{x}. \end{array}\right. \end{displaymath}$

Вычтя из второго уравнения первое, получим, что $\varphi'_2e^x=\frac{e^x}{x}$ , $\varphi'_2=\frac{1}{x}$ , и отсюда найдём $\varphi'_1=-x\varphi'_2=-1$ . Тогда $\varphi_1=-x+C_1$ , $\varphi_2=\ln\vert x\vert+\tilde{C}_2$ . Подставив эти функции в (2), найдём, что $y=(-x+C_1)e^x+(\ln\vert x\vert+\tilde{C}_2)xe^x=C_1e^x+(\tilde C_2-1)xe^x+xe^x\ln\vert x\vert=C_1e^x+C_2xe^x+xe^x\ln\vert x\vert$

Ответ:

$\displaystyle y=C_1e^x+C_2xe^x+xe^x\ln\vert x\vert.$