Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Дано, что для любых $x$ и $y$
\begin{equation}
a_{ijkl}x^{i}y^{j}x^{k}y^{l}=0.\label{eq:usl}
\end{equation}
Доказать, что
\begin{equation}
a_{ijkl}+a_{jkli}+a_{klij}+a_{lijk}=0.\label{vyvod}
\end{equation}

Это утверждение неверно.

Контрпример: рассмотрим такой тензор $a$, что
\[
a_{ijkl}=-a_{kjil}=-a_{ilkj}=a_{klij}.
\]
Тогда условие (\ref{eq:usl}) автоматически выполняется
\[
a_{ijkl}x^{i}y^{j}x^{k}y^{l}=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}+a_{ijkl}x^{i}x^{k}\right)y^{j}y^{l}=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}-a_{kjil}x^{i}x^{k}\right)y^{j}y^{l}=
\]
(переименуем $k\leftrightarrow i$)
\[
=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}-a_{ijkl}x^{k}x^{i}\right)y^{j}y^{l}=0.
\]
Проверим, всегда ли при этом выполняется (\ref{vyvod}). Пусть, в частности, $a_{1123}=-a_{2113}=-a_{1321}=a_{2311}=1$ и $a_{1231}=-a_{3211}=-a_{1132}=a_{3112}=2$. Тогда
\[
a_{1123}+a_{1231}+a_{2311}+a_{3112}=1+2+1+2=6\neq0.
\]
Таким образом, (\ref{vyvod}) выполняется не всегда даже для $n=3$.