Линейная система с постоянными коэффициентами имеет вид \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_{1}=a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}+f_{1}\left(t\right)\\ \dot{x}_{2}=a_{21}x_{1}+\dots+a_{2n}x_{n}+f_{2}\left(t\right)\\ .............................\\ \dot{x}_{n}=a_{n1}x_{1}+\dots+a_{nn}x_{n}+f_{n}\left(t\right) \end{array}\right. \end{equation} где $x_{k}\left(t\right)$ – искомые функции, $t$ – независимый аргумент, $a_{jk}$ – постоянные коэффициенты $f_{k}\left(t\right)$ – явно заданные в системе выражения.
К сожалению, так как вам из программы была вырезана вся линейная алгебра, вам невозможно объяснить специфические способы решения именно систем. Поэтому единственное, что вы сможете сделать с ними – это свести их к отдельным уравнениям. Делать это полагается дифференцируя одни уравнения, и подставляя в них другие. После отдельное единичное уравнение решается методами, изложенными ранее.
Пример: №787
\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=x-y\\ \dot{y}=y-4x \end{array}\right. \end{equation} Из первого уравнения получим $y$ \[ y=x-\dot{x}, \] и продифференцируем \[ \dot{y}=\dot{x}-\ddot{x}; \] после чего подставим полученное во второе уравнение: \[ \dot{x}-\ddot{x}=\left(x-\dot{x}\right)-4x, \] \[ -\ddot{x}=-3x-2\dot{x}, \] \[ \ddot{x}-2\dot{x}-3x=0. \] Далее как обычно: \[ \lambda^{2}-2\lambda-3=0, \] \[ \lambda_{1}=-1,\qquad\lambda_{2}=3, \] \[ x=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{3t}. \] Теперь надо получить $y$: \[ \dot{x}=-C_{1}e^{-t}+3C_{2}e^{3t}, \] \[ y=x-\dot{x}=\left(C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{3t}\right)-\left(-C_{1}e^{-t}+3C_{2}e^{3t}\right)=2C_{1}e^{-t}-2C_{2}e^{3t}. \] Итоговый ответ: \[ \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=-C_{1}e^{-t}+3C_{2}e^{3t},\\ y=2C_{1}e^{-t}-2C_{2}e^{3t}. \end{array}\right. \] Пример: № 820 с уравнениями более высокого порядка \[ \left\{ \begin{array}{l} \ddot{x}-x+2\ddot{y}-2y=0\\ \dot{x}-x+\dot{y}+y=0 \end{array}\right. \] Избавимся опять от $y$. Он присутствует в системе в виде трёх разных производных, а уравнения – только два. Чтобы получить ещё одно, продифференцируем второе уравнение (если сделать это с первым – появится ещё и $\dddot{y}$): \[ \left\{ \begin{array}{l} \ddot{x}-x+2\ddot{y}-2y=0,\\ \dot{x}-x+\dot{y}+y=0,\\ \ddot{x}-\dot{x}+\ddot{y}+\dot{y}=0. \end{array}\right. \] Перенесём $x$ в правую часть: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2\ddot{y}-2y=-\ddot{x}+x,\\ \dot{y}+y=-\dot{x}+x,\\ \ddot{y}+\dot{y}=-\ddot{x}+\dot{x}. \end{array}\right. \] Из первого уравнения вычтем третье, умноженное на 2 и избавимся от $\ddot{y}$: \[ \left\{ \begin{array}{l} -2\dot{y}-2y=\ddot{x}-2\dot{x}+x,\\ \dot{y}+y=-\dot{x}+x,\\ \ddot{y}+\dot{y}=-\ddot{x}+\dot{x}. \end{array}\right. \] Добавим к первому уравнению второе, умноженное на 2: \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} 0=\ddot{x}-4\dot{x}+3x,\\ \dot{y}+y=-\dot{x}+x,\\ \ddot{y}+\dot{y}=-\ddot{x}+\dot{x}. \end{array}\right.\label{finsys} \end{equation} Решаем первое уравнение, из которого пропал у, обычным образом: \[ \ddot{x}-4\dot{x}+3x=0, \] \[ \lambda^{2}-4\lambda+3=0, \] \[ \lambda_{1}=1,\quad\lambda_{2}=3, \] \[ x=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{3t}. \] Найти у мы можем из второго уравнения в (\ref{finsys}): \[ \dot{x}=C_{1}e^{t}+3C_{2}e^{3t}, \] \[ \dot{y}+y=-\dot{x}+x=-\left(C_{1}e^{t}+3C_{2}e^{3t}\right)+C_{1}e^{t}+C_{2}e^{3t}=-2C_{2}e^{3t}. \] Это линейное уравнение 1-го порядка, их метод решения известен \[ \dot{y}_{0}+y_{0}=0, \] \[ \frac{\dot{y}_{0}}{y_{0}}=-1,\qquad\ln\left|y_{0}\right|=-t+\tilde{C}_{0},\qquad y_{0}=\pm e^{\tilde{C}_{0}}e^{-t}=C_{0}e^{-t}; \] Пусть $C_{0}=1$ \[ y_{0}=e^{-t},\qquad y=y_{0}y_{1}=e^{-t}y_{1},\qquad\dot{y}=e^{-t}\dot{y}_{1}-e^{-t}y_{1}; \] \[ \dot{y}+y=e^{-t}\dot{y}_{1}-e^{-t}y_{1}+e^{-t}y_{1}=e^{-t}\dot{y}_{1}=-2C_{2}e^{3t}, \] \[ \dot{y}_{1}=-2C_{2}e^{4t},\qquad y_{1}=-\frac{C_{2}}{2}e^{4t}+C_{3}, \] \[ y=e^{-t}y_{1}=e^{-t}\left(-\frac{C_{2}}{2}e^{4t}+C_{3}\right)=-\frac{C_{2}}{2}e^{3t}+C_{3}e^{-t}. \] Итого, \[ \left\{ \begin{array}{l} x=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{3t},\\ y=-\frac{C_{2}}{2}e^{3t}+C_{3}e^{-t}. \end{array}\right. \]
Пример: № 833 с системой неоднородных уравнений \[ \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=2x+y+e^{t},\\ \dot{y}=-2x+2t. \end{array}\right. \] Легко выразить $y$ из первого уравнения: \[ y=\dot{x}-2x-e^{t}, \] подставить во второе \[ \dot{y}=-2x+2t=\ddot{x}-2\dot{x}-e^{t}, \] и собрать $x$ в левой части: \begin{equation} \ddot{x}-2\dot{x}+2x=2t+e^{t}.\label{finur} \end{equation} Решаем однородное уравнение \[ \ddot{x}_{0}-2\dot{x}_{0}+2x_{0}=0, \] \[ \lambda^{2}-2\lambda+2=0, \] \[ \lambda^{2}-2\lambda+1=-1, \] \[ \lambda=1\pm i. \] \[ x_{c}=e^{\left(1+i\right)t}=e^{t}\left(\cos t+i\sin t\right)=e^{t}\cos t+ie^{t}\sin t, \] \[ x_{0}=C_{1}e^{t}\cos t+C_{2}e^{t}\sin t. \] Найдём частные решения пары неоднородных уравнений – по одному на каждое слагаемое в правой части (\ref{finur}). Правые части обоих имеют вид $P_{m}\left(x\right)e^{\gamma x}$, значит решения будем искать в виде $x^{s}Q_{m}\left(x\right)e^{\gamma x}$.
Первое уравнение: \[ \ddot{x}_{1}-2\dot{x}_{1}+2x_{1}=2t, \] $\gamma=0$, $s=0$, $m=1$: \[ x_{1}=at+b; \] \[ -2a+2\left(at+b\right)=2t, \] \[ at+b-a=t, \] \[ \left\{ \begin{array}{l} b-a=0,\\ a=1, \end{array}\right. \] $a=b=1$: \[ x_{1}=t+1. \]
Второе уравнение: \[ \ddot{x}_{2}-2\dot{x}_{2}+2x_{2}=e^{t}, \] $\gamma=1$, $s=0$, $m=0$: \[ x_{2}=ae^{t}; \] \[ ae^{t}-2ae^{t}+2ae^{t}=e^{t}, \] $a=1$: \[ x_{2}=e^{t}. \] Общее решение уравнения (\ref{finur}) будет суммой общего решения однородного уравнения и частных решений неоднородных уравнений: \[ x=x_{0}+x_{1}+x_{2}=C_{1}e^{t}\cos t+C_{2}e^{t}\sin t+t+1+e^{t}. \] Теперь находим $y$: \[ \dot{x}=C_{1}\left(e^{t}\cos t-e^{t}\sin t\right)+C_{2}\left(e^{t}\sin t+e^{t}\cos t\right)+1+e^{t}, \] \[ y=\dot{x}-2x-e^{t}=\left(C_{1}\left(e^{t}\cos t-e^{t}\sin t\right)+C_{2}\left(e^{t}\sin t+e^{t}\cos t\right)+1+e^{t}\right)- \] \[ -2\left(C_{1}e^{t}\cos t+C_{2}e^{t}\sin t+t+1+e^{t}\right)-e^{t}= \] \[ =-C_{1}e^{t}\left(\cos t+\sin t\right)+C_{2}e^{t}\left(\cos t-\sin t\right)-2t-1-2e^{t}. \] Итоговый ответ: \[ \left\{ \begin{array}{l} x=C_{1}e^{t}\cos t+C_{2}e^{t}\sin t+t+1+e^{t},\\ y=-C_{1}e^{t}\left(\cos t+\sin t\right)+C_{2}e^{t}\left(\cos t-\sin t\right)-2t-1-2e^{t}. \end{array}\right. \] Задание: № 791, 818, 826.
