Комплексные числа

Комплексным числом $z$ называется пара вещественных чисел $\left(x,y\right)$, из которых первое называется действительной частью, второе – мнимой частью комплексного числа. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части. Комплексные числа отображаются точками на комплексной плоскости.

Действительную и мнимую части можно выразить через полярные координаты на той же плоскости: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi, \end{array}\right. \] \[ z=\left(x,y\right)=\left(r\cos\varphi,r\sin\varphi\right), \] где число $r$ называется модулем числа $z$, а $\varphi$ - аргументом числа $z$. Так как $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, $r$ имеет геометрический смысл расстояния от точки на комплексной плоскости до начала координат (нуля).

Арифметика

Сложение, умножение, сопряжение

Арифметические операции сложения и умножения чисел $z=\left(x,y\right)$ и $w=\left(u,v\right)$ определены так: \[ z+w=\left(x+u,y+v\right), \] \[ z\cdot w=\left(xu-yv,xv+yu\right). \] Числа с нулевой мнимой частью $\left(\alpha,0\right)$ при сложении и умножении дают тоже числа с нулевой мнимой частью; поэтому они считаются вещественными. Можно заметить, что \[ \alpha z=\left(\alpha,0\right)\left(x,y\right)=\left(x\alpha-y\cdot0,x\cdot0+y\alpha\right)=\left(\alpha x,\alpha y\right). \] Умножение комплексного числа на вещественное происходит, таким образом, по векторному принципу: умножается каждый компонент.

Число $\left(0,1\right)\equiv i$, обладающее свойством \[ i^{2}=\left(0,1\right)\left(0,1\right)=\left(0\cdot0-1\cdot1,0\cdot1+1\cdot0\right)=\left(-1,0\right)=-1, \] называется мнимой единицей, и это позволяет записать комплексное число так: \[ z=\left(x,y\right)=\left(x,0\right)+\left(0,y\right)=x+\left(0,1\right)y=x+iy. \] Последняя форма записи называется алгебраической формой комплексного числа.

Числом, сопряжённым к комплексному $z=\left(x,y\right)=x+iy$, называется число с противоположной мнимой частью \[ \bar{z}=\left(x,-y\right)=x-iy. \] Очевидно, что сопряжённым к сумме является сумма сопряжённых (т.е. сопряжение в сумму можно вносить): \[ \overline{z+w}=\overline{\left(x+u,y+v\right)}=\left(x+u,-y-v\right)=\left(x,-y\right)+\left(u,-v\right)=\bar{z}+\bar{w}. \] Однако оказывается, что сопряжение можно вносить и в произведение: \[ \overline{z\cdot w}=\left(xu-yv,-xv-yu\right), \] \[ \bar{z}\cdot\bar{w}=\overline{\left(x,y\right)}\cdot\overline{\left(u,v\right)}=\left(x,-y\right)\cdot\left(u,-v\right)=\left(xu-yv,-xv-yu\right)=\overline{z\cdot w}. \] Сопряжённое число обладает тем свойством, что при умножении на него исходного числа получается вещественный неотрицательный ответ (вычислим его в алгебраической форме): \[ z\cdot\bar{z}=\left(x+iy\right)\left(x-iy\right)=x^{2}-\left(iy\right)^{2}=x^{2}-i^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}. \]

В полярных координатах записывается тригонометрическая форма комплексного числа: \[ z=\left(r\cos\varphi,r\sin\varphi\right)=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right), \] В тригонометрической форме сопряжение выглядит так (воспользуемся чётностью косинуса и нечётностью синуса): \[ \bar{z}=r\left(\cos\varphi-i\sin\varphi\right)=r\left(\cos\varphi+i\sin\left(-\varphi\right)\right)=r\left(\cos\left(-\varphi\right)+i\sin\left(-\varphi\right)\right), \] т.е. аргумент меняет знак, а модуль не меняется.

Вычитание, деление, степень

Вычитание комплексных чисел, очевидно, определяется так: \[ z-w=\left(x-u,y-v\right). \] Сложнее с делением. Частное определяется как число, которое при умножении на делитель даёт делимое: \[ \frac{z}{w}\equiv s=p+iq\quad\Longleftarrow\quad ws=z \] Умножим обе части на сопряжённое к знаменателю: \[ \bar{w}ws=\left(u^{2}+v^{2}\right)s=\bar{w}z, \] а потом – на вещественное число $\frac{1}{u^{2}+v^{2}}$: \[ \frac{z}{w}\equiv s=\frac{1}{u^{2}+v^{2}}\bar{w}z=\left(\frac{xu+yv}{u^{2}+v^{2}},\frac{-xv+yu}{u^{2}+v^{2}}\right). \] Впрочем, запоминать эту громоздкую формулу не обязательно, достаточно запомнить, что числитель и знаменатель нужно домножить на сопряжённое к знаменателю \[ \frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}, \] и всё получится.

Задание: доказать, что \[ \overline{\frac{1}{z}}=\frac{1}{\bar{z}};\qquad\overline{\frac{w}{z}}=\frac{\bar{w}}{\bar{z}};\qquad\overline{z^{n}}=\bar{z}^{n}. \] Удобнее, однако, умножать и делить в тригонометрической форме. При $z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$, $w=\rho\left(\cos\psi+i\sin\psi\right)$ \[ z\cdot w=r\rho\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)\left(\cos\psi+i\sin\psi\right)=r\rho\left(\cos\varphi\cos\psi+i\sin\varphi\cos\psi+i\sin\psi\cos\varphi+ii\sin\psi\sin\varphi\right)= \] \[ =r\rho\left[\left(\cos\varphi\cos\psi-\sin\psi\sin\varphi\right)+i\left(\sin\varphi\cos\psi+\sin\psi\cos\varphi\right)\right]=r\rho\left(\cos\left(\varphi+\psi\right)+i\sin\left(\varphi+\psi\right)\right), \] т.е. при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. Умножив $w$ на сопряжённое, получим \[ w\bar{w}=\rho\left(\cos\psi+i\sin\psi\right)\rho\left(\cos\left(-\psi\right)+i\sin\left(-\psi\right)\right)=\rho^{2}\left(\cos\left(\psi-\psi\right)+i\sin\left(\psi-\psi\right)\right)=\rho^{2}. \] Тогда \[ \frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{r\rho\left(\cos\left(\varphi-\psi\right)+i\sin\left(\varphi-\psi\right)\right)}{\rho^{2}}=\frac{r}{\rho}\left(\cos\left(\varphi-\psi\right)+i\sin\left(\varphi-\psi\right)\right) \] (при делении модули делятся, а аргументы вычитаются).

Зная процедуры умножения и деления, мы можем расширить на комплексные числа обычные определения целой степени: \[ z^{0}=1,\qquad z^{n}=z\cdot z\cdot\dots\cdot z=r^{n}\left(\cos n\varphi+i\sin n\varphi\right), \] \[ z^{-n}=\frac{1}{z^{n}}=r^{-n}\left(\cos\left(-n\varphi\right)+i\sin\left(-n\varphi\right)\right)=r^{-n}\left(\cos n\varphi-i\sin n\varphi\right). \]

Пример: Вычислить и получить ответ в алгебраической форме \[ \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{3}=\left(\frac{\left(1-i\right)^{2}}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}\right)^{3}=\left(\frac{1^{2}-2i+i^{2}}{1^{2}-i^{2}}\right)^{3}=\left(\frac{1^{2}-2i+\left(-1\right)}{1-\left(-1\right)}\right)^{3}=\left(\frac{-2i}{2}\right)^{3}=\left(-i\right)^{3}=\left(-1\right)^{3}i^{2}i=\left(-1\right)^{4}i=i \]

Задание: Вычислить и получить ответ в алгебраической форме \[ \frac{1-i}{1+i};\qquad\frac{1}{i}\frac{1+i}{1-i};\qquad\frac{2+3i}{\left(1+i\right)^{2}} \]

Пример: Вычислить $\left(1+i\right)^{8}\left(1-i\sqrt{3}\right)^{-6}$.

Заметим, что в алгебраической форме пришлось бы раскладывать по биному восьмую степень. К счастью, мы можем этого не делать.

1. Переведём к тригонометрической форме число $1+i$: \[ 1+i=\left(1,1\right);\quad r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \] Число $1+i$ на комплексной плоскости лежит в первой четверти, поэтому $0 < \varphi < \frac{\pi}{2}$. \[ x=r\cos\varphi,\quad1=\sqrt{2}\cos\varphi,\quad\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad\varphi=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n. \] Мы выбираем $\varphi=\frac{\pi}{4}$, остальные решения тригонометрического уравнения отбрасываем, как не входящие в нужный диапазон. Проверяем, получается ли значение $y$: \[ y=r\sin\varphi,\quad\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}=1. \] Таким образом, \[ 1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). \] Тогда \[ \left(1+i\right)^{8}=\sqrt{2}^{8}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)^{8}=2^{4}\left(\cos8\frac{\pi}{4}+i\sin8\frac{\pi}{4}\right)=16\left(\cos2\pi+i\sin2\pi\right)=16\left(1+i\cdot0\right)=16. \]

2. Теперь второй множитель. \[ 1-i\sqrt{3}=\left(1,-\sqrt{3}\right);\quad r=\sqrt{1^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{1+3}=2 \] $1 > 0$, $-\sqrt{3} < 0$, число $1-i\sqrt{3}$ на комплексной плоскости лежит в четвёртой четверти, поэтому $-\frac{\pi}{2} < \varphi < 0$. \[ x=r\cos\varphi,\quad1=2\cos\varphi,\quad\cos\varphi=\frac{1}{2},\quad\varphi=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n, \] выбираем $\varphi=-\frac{\pi}{3}$. Проверяем: \[ y=r\sin\varphi,\quad2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-2\sin\frac{\pi}{3}=-2\frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}. \] \[ 1-i\sqrt{3}=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \] \[ \left(1-i\sqrt{3}\right)^{-6}=2^{-6}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)^{-6}=\frac{1}{64}\left(\cos2\pi+i\sin2\pi\right)=\frac{1}{64} \]

3. Сведём полученное воедино: \[ \left(1+i\right)^{8}\left(1-i\sqrt{3}\right)^{-6}=16\frac{1}{64}=\frac{1}{4} \]

Задание: Записать в тригонометрической форме \[ i;\qquad -3;\qquad 1+i^{123};\qquad -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2};\qquad -\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7};\qquad 1+\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7} . \]

Задание: Вычислить \[ \frac{1}{1-i};\qquad \left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3};\qquad \left(\frac{i^{5}+2}{i^{19}+1}\right)^{2};\qquad \frac{\left(1+i\right)^{5}}{\left(1-i\right)^{3}};\qquad \left( -4+3i \right)^3 . \]