Несобственными интегралами называются некоторые интегралы, доопределённые на те случаи, в которых данная функция на данной области не является интегрируемой.

Определения и нахождение в простых слуаях

Например, если область интегрирования бесконечна хотя бы с одной стороны (скажем, от $a$ до $\infty$), то её нельзя разбить на конечное множество отрезков, нужное для построения интегральной суммы. Тогда интеграл по такому множеству определяется как предел обычного интеграла при нужной границе стремящейся к бесконечности: \[ \int\limits _{a}^{\infty}f\left(x\right)dx\equiv\lim_{b\to\infty}\int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx=\lim_{b\to\infty}F\left(b\right)-F\left(a\right), \] \[ \int\limits _{\infty}^{a}f\left(x\right)dx\equiv\lim_{b\to\infty}\int\limits _{-b}^{a}f\left(x\right)dx=F\left(a\right)-\lim_{b\to\infty}F\left(-b\right). \] Другой частый случай – когда область интегрирования представляет собой конечный отрезок, но подынтегральная функция на нём не ограничена, а значит – не интегрируема. Если точкой разрыва функции является правая граница области интегрирования, то \[ \int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx\equiv\lim_{\varepsilon\to+0}\int\limits _{a}^{b-\varepsilon}f\left(x\right)dx=\lim_{\varepsilon\to+0}F\left(b-\varepsilon\right)-F\left(a\right), \] а если на левая -- \[ \int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx\equiv\lim_{\varepsilon\to+0}\int\limits _{a+\varepsilon}^{b}f\left(x\right)dx=\lim_{\varepsilon\to+0}F\left(a+\varepsilon\right)-F\left(b\right). \] Разумеется, приведённые определения служат базовыми элементами для более сложных определений. Например, точка разрыва $c$ может лежать в середине отрезка $\left[a,b\right]$. Тогда \[ \int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx\equiv\int\limits _{a}^{c}f\left(x\right)dx+\int\limits _{c}^{b}f\left(x\right)dx, \] где слагаемые определяются так, как было описано выше. Точек разрыва может быть и больше одной – значит, интеграл придётся дробить сильнее. Возможен интеграл по всей вещественной оси: \[ \int\limits _{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx\equiv\int\limits _{-\infty}^{a}f\left(x\right)dx+\int\limits _{a}^{\infty}f\left(x\right)dx, \] и т.д.

Пример: Демидович, № 2334 \[ \int\limits _{a}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\left.-\frac{1}{x}\right|_{a}^{\infty}=\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{b}\right)-\left(-\frac{1}{a}\right)=0+\frac{1}{a}=\frac{1}{a} \]

Пример: Демидович, № 2335 \[ \int\limits _{0}^{1}\ln xdx \] Тут проблемы начинаются в нуле. \[ \int\ln xdx=\int\ln xx'dx=x\ln x-\int\frac{1}{x}xdx=x\ln x-\int1dx=x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1\right)+C, \] \[ \int\limits _{0}^{1}\ln xdx=\left.x\left(\ln x-1\right)\right|_{0}^{1}=\lim_{\varepsilon\to+0}\varepsilon\left(\ln\varepsilon-1\right)-1\cdot\left(\ln1-1\right)=\lim_{\varepsilon\to+0}\varepsilon\ln\varepsilon\left(1-\frac{1}{\ln\varepsilon}\right)+1. \] Отдельно \[ \lim_{\varepsilon\to+0}\left(1-\frac{1}{\ln\varepsilon}\right)=\lim_{\ln\varepsilon\to-\infty}\left(1-\frac{1}{\ln\varepsilon}\right)=\left(1-0\right)=1, \] \[ \lim_{\varepsilon\to+0}\varepsilon\ln\varepsilon=\lim_{\xi\to\infty}\frac{1}{\xi}\ln\frac{1}{\xi}=-\lim_{\xi\to\infty}\frac{\ln\xi}{\xi}=0. \] Тогда \[ \int\limits _{0}^{1}\ln xdx=\lim_{\varepsilon\to+0}\varepsilon\ln\varepsilon\left(1-\frac{1}{\ln\varepsilon}\right)+1=0\cdot1+1=1. \]

Задание: № 2336 – 2338, 2340, 2344, 2346.

Сходимость несобственных интегралов

Пределы, упомянутые в определении, могут и не существовать. Интеграл называется сходящимся, если соответствующий предел существует. Проверка интеграла на сходимость производится методами, напоминающими таковые для ряда. В качестве предварительного утверждения заметим, что если $\int\limits _{a}^{\infty}f\left(x\right)dx$ сходится, то и $\int\limits _{a}^{\infty}kf\left(x\right)dx$ ($k=const$) сходится. Это можно доказать самостоятельно. Аналогичное верно и для расходимости.

Признак сравнения I

Если \begin{equation} 0 < f\left(x\right) < g\left(x\right),\label{ner} \end{equation} и несобственный интеграл большей функции сходится \[ \int\limits _{a}^{\infty}g\left(x\right)dx\;\text{сх.}\qquad\left(\exists\lim_{b\to\infty}\int\limits _{a}^{b}g\left(x\right)dx\right), \] отсюда следует вот что. Собственный интеграл большей функции $g\left(x\right)$, так как имеет предел, ограничен \[ \exists M > \int\limits _{a}^{b}g\left(x\right)dx. \] Но проинтегрировав от $a$ до $b$ цепочку неравенств (\ref{ner}), получим \[ 0 < \int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx < \int\limits _{a}^{b}g\left(x\right)dx < M, \] то есть собственный интеграл меньшей функции $f\left(x\right)$ тоже ограничен. Вместе с тем он , так как берётся от положительной функции, возрастает вместе с б. Так как он возрастает и ограничен, он имеет предел, и несобственный интеграл меньшей функции $f\left(x\right)$ тоже сходится \[ \int\limits _{a}^{\infty}f\left(x\right)dx\;\text{сх.} \]

Если же расходится интеграл меньшей функции, можно доказать, что и интеграл большей функции неизбежно расходится. В силу того, что $f\left(x\right) > 0$, интеграл $\int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx$ возрастает. Он не может быть ограничен, ибо тогда $\int\limits _{a}^{\infty}f\left(x\right)dx$ сходился бы, поэтому он стремится к бесконечности. Вместе с ним стремится к бесконечности больший интеграл $\int\limits _{a}^{b}g\left(x\right)dx$, а значит, расходится $\int\limits _{a}^{\infty}g\left(x\right)dx$.

Признак сравнения II

Если \begin{equation} f\left(x\right) > 0,\quad g\left(x\right) > 0;\qquad\exists\lim_{x\to\infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=C > 0,\label{uslII} \end{equation} и $\int\limits _{a}^{\infty}g\left(x\right)dx$ сходится, то для $\forall\varepsilon > 0$ $\exists X$, что для всякого $x > X$ будет \[ \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-C\right| < \varepsilon, \] \begin{equation} C-\varepsilon < \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} < C+\varepsilon,\label{ner2} \end{equation} \[ f\left(x\right) < \left(C+\varepsilon\right)g\left(x\right), \] интеграл правой части сходится, и тогда интеграл меньшей функции $f\left(x\right)$ тоже сходится по I признаку сравнения. Теперь пусть $\int\limits _{a}^{\infty}g\left(x\right)dx$ расходится. Тогда из (\ref{ner2}) получим \[ \left(C-\varepsilon\right)g\left(x\right) < f\left(x\right), \] интеграл левой части расходится, и тогда интеграл большей функции $f\left(x\right)$ тоже расходится по I признаку сравнения. Таким образом, при выполнении (\ref{uslII}) интегралы функций $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ сходятся или расходятся одновременно.

В этом признаке очевидно всё равно, кого на что делить: к таким же выводам нас приведёт и предел \[ \lim_{x\to\infty}\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}. \]

Признак сравнения IIб

Отдельно можно рассмотреть что будет, когда функции $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ по-прежнему больше нуля, и \[ \lim_{x\to\infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0. \] Тогда мы придём к неравенству \[ f\left(x\right) < \varepsilon g\left(x\right), \] и из сходимости интеграла $g\left(x\right)$ будет следовать сходимость интеграла $f\left(x\right)$, но не наоборот.

Функции для сравнений

Для сравнения требуются некие эталонные функции. В качестве таковых можно взять степени: \[ \int\limits _{a}^{\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}dx=\left.\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right|_{a}^{\infty} \] сходится, если $1-\alpha < 0$, т.е. $\alpha > 1$; расходится если $\alpha < 1$.

Или наоборот: \[ \int\limits _{a}^{\infty}\alpha^{x}dx=\left.\frac{\alpha^{x}}{\ln\alpha}\right|_{a}^{\infty} \] сходится, если $0 < \alpha < 1$; расходится если $\alpha > 1$.

Критерий Коши

Интеграл $\int\limits _{a}^{\infty}f\left(x\right)dx$ сходится тогда и только тогда, когда для $\forall\varepsilon > 0$ $\exists B$, что если $B < b_{1} < b_{2}$, то \[ \left|\int\limits _{b_{1}}^{b_{2}}f\left(x\right)dx\right| < \varepsilon. \]

При помощи этого критерия можно доказать, что если сходится интеграл $\int\limits _{a}^{\infty}\left|f\left(x\right)\right|dx$, то сходится и $\int\limits _{a}^{\infty}f\left(x\right)dx$ (такая сходимость называется, как и в рядах, абсолютной). В самом деле, тогда для $\forall\varepsilon > 0$ $\exists B$, что если $B < b_{1} < b_{2}$, то \[ \left|\int\limits _{b_{1}}^{b_{2}}\left|f\left(x\right)\right|dx\right|=\int\limits _{b_{1}}^{b_{2}}\left|f\left(x\right)\right|dx < \varepsilon. \] Но \[ \left|\int\limits _{b_{1}}^{b_{2}}\left|f\left(x\right)\right|dx\right|\leqslant\int\limits _{b_{1}}^{b_{2}}\left|f\left(x\right)\right|dx < \varepsilon, \] и потому критерий Коши выполняется и для интеграла без модуля тоже.

Признак Дирихле

зачем-то названный в Демидовиче \guillemotleft специальным признаком сходимости\guillemotright . Если функция $f\left(x\right)$ имеет ограниченную первообразную \[ \exists M > \left|\int\limits _{a}^{x}f\left(t\right)dt\right|, \] а функция $g\left(x\right)$ монотонно стремится к нулю, то сходится интеграл \[ \int\limits _{a}^{\infty}f\left(x\right)g\left(x\right)dx. \] Последние два признака оставлю без доказательств.

Пример: № 2368

Исследовать на сходимость интеграл \[ \int\limits _{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x}dx. \] Область интегрирования этого интеграла содержит сразу две точки, в которых подынтегральная функция не определена: 0 и $\infty$, поэтому разобьём интеграл на два: \begin{equation} \int\limits _{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x}dx=\int\limits _{0}^{1}\frac{\sin^{2}x}{x}dx+\int\limits _{1}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x}dx\label{razd} \end{equation}

1. В первом слагаемом сделаем замену $x=\frac{1}{t}$, $dx=-\frac{1}{t^{2}}dt$: \begin{equation} \int\limits _{0}^{1}\frac{\sin^{2}x}{x}dx=-\int\limits _{\infty}^{1}\frac{\sin^{2}\frac{1}{t}}{\frac{1}{t}}\frac{1}{t^{2}}dt=\int\limits _{1}^{\infty}\frac{\sin^{2}\frac{1}{t}}{t}dt.\label{sl1} \end{equation} Сравним подынтегральное выражение с функцией $\frac{1}{t^{3}}$ \[ \lim_{t\to\infty}\frac{\frac{\sin^{2}\frac{1}{t}}{t}}{\frac{1}{t^{3}}}=\lim_{t\to\infty}\left(\frac{\sin\frac{1}{t}}{\frac{1}{t}}\right)^{2}=1 > 0, \] а значит, интегралы этих функций ведут себя одинаково. Но интеграл от $\frac{1}{t^{3}}$ сходится: \[ \int\limits _{1}^{\infty}\frac{1}{t^{3}}dt=\left.\frac{t^{-2}}{-2}\right|_{1}^{\infty}=\frac{0-1}{-2}=\frac{1}{2}, \] поэтому и интеграл из (\ref{sl1}) сходится вместе с ним по II признаку сравнения.

2. Но радоваться рано: есть ещё одно слагаемое. \[ \int\limits _{1}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x}dx=\frac{1}{2}\int\limits _{1}^{\infty}\frac{1-\cos2x}{x}dx \] Если по отдельности рассмотреть интеграл $\int\limits _{1}^{\infty}\frac{\cos2x}{x}dx$, то один множитель имеет ограниченную первообразную \[ \left|\int\limits _{1}^{a}\cos2xdx\right|=\frac{1}{2}\left|\sin2a-\sin2\right|\leqslant\frac{\left|\sin2a\right|+\left|\sin2\right|}{2}, \] а другой – $\frac{1}{x}$ – монотонно убывает и стремится к нулю, и интеграл $\int\limits _{1}^{\infty}\frac{\cos2x}{x}dx$ сходится по Дирихле. Но тогда сумма \[ \int\limits _{1}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x}dx+\frac{1}{2}\int\limits _{1}^{\infty}\frac{\cos2x}{x}dx=\frac{1}{2}\int\limits _{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\left.\frac{1}{2}\ln x\right|_{1}^{\infty}=\infty \] расходится. Однако сумма сходящихся интегралов – сходящийся интеграл, поэтому интеграл $\int\limits _{1}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x}dx$ расходится. Исходный интеграл в (\ref{razd}), будучи суммой сходящегося и расходящегося интегралов, тоже расходится.

Задание: № 2358, 2359, 2360, 2370.1, 2372.