Посмотрим на обратную матрицу с другой стороны.

Обратная матрица и определитель

Рассмотрим матрицу \[ A\equiv\left(\begin{array}{cccccccc} \begin{array}{c} a_{11}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{n1} \end{array} & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \begin{array}{c} a_{1k}\\ \\a_{ik}\\ \vdots\\ \\a_{nk} \end{array} & & & & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \begin{array}{c} a_{1n}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{nn} \end{array}\end{array}\right), \] и её определитель. Его можно разложить по столбцу $k$: \begin{equation} \det\left(\begin{array}{cccccccc} \begin{array}{c} a_{11}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{n1} \end{array} & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \boxed{\begin{array}{c} a_{1k}\\ \\a_{ik}\\ \vdots\\ \\a_{nk} \end{array}} & & & & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \begin{array}{c} a_{1n}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{nn} \end{array}\end{array}\right)=a_{1k}A_{1k}+\dots+a_{nk}A_{nk},\label{det} \end{equation} где $A_{ik}$ – алгебраические дополнения элементов $a_{ik}$. Так как в алгебраическом дополнении $A_{ik}$ участвуют элементы, не стоящие в $k$-м столбце, оно не изменится, если в матрице заменить $k$-й столбец, и определитель получающейся при этом матрицы будет такой \begin{equation} \det\left(\begin{array}{cccccccc} \begin{array}{c} a_{11}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{n1} \end{array} & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \boxed{\begin{array}{c} b_{1}\\ \\b_{i}\\ \vdots\\ \\b_{n} \end{array}} & & & & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \begin{array}{c} a_{1n}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{nn} \end{array}\end{array}\right)=b_{1}A_{1k}+\dots+b_{n}A_{nk},\label{sb} \end{equation} с точно такими же $A_{ik}$, как для матрицы $A$. Если в качестве $k$-го столбца подставить $j$-й столбец (причём $j\neq k$), определитель такой матрицы будет нулевым, поскольку матрица имеет два одинаковых столбца: \[ a_{1j}A_{1k}+\dots+a_{nj}A_{nk}=\det\stackrel{\begin{array}{ccccccc} & k & & & & j & \end{array}}{\left(\begin{array}{cccccccc} \begin{array}{c} a_{11}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{n1} \end{array} & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \boxed{\begin{array}{c} a_{1j}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{nj} \end{array}} & & & \begin{array}{c} a_{1j}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{nj} \end{array} & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \begin{array}{c} a_{1n}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{nn} \end{array}\end{array}\right)}=0. \] Но нас больше интересует выражение в левой части. Если собрать формулу (\ref{det}) и формулу выше, мы получим, что если в этом выражении $j=k$, то получается определитель $A$, а если в нём $j\neq k$, то будет ноль: \begin{equation} a_{1j}A_{1k}+\dots+a_{nj}A_{nk}=\left\{ \begin{array}{ll} \left|A\right|, & j=k;\\ 0, & j\neq k. \end{array}\right.\label{chtb} \end{equation} Но очень похожим образом вычисляется элемент матричного произведения. Не так только порядок индексов: для реализации принципа «строка на столбец» у первого множителя должен меняться номер столбца, а у второго – строки. Но индексы можно переставить при помощи операции транспонирования, тогда левая часть формулы (\ref{chtb}) будет совсем элементом произведения матриц. Обозначим его как $c_{kj}$: \[ a_{1j}A_{1k}+\dots+a_{nj}A_{nk}=A_{k1}^{T}a_{1j}+\dots+A_{kn}^{T}a_{nj}\equiv c_{kj}, \] а саму матрицу как $C$. Однако если из получающейся при умножении матрицы вынести $\left|A\right|$, то останется единичная матрица: \begin{equation} C=\left(\begin{array}{c} \begin{array}{cccccccc} A_{11}^{T} & \cdots & & & & & \cdots & A_{1n}^{T}\end{array}\\ \vdots\\ \boxed{\begin{array}{cccccccc} A_{k1}^{T} & \cdots & & & & & \cdots & A_{kn}^{T}\end{array}}\\ \\\\\begin{array}{cccccccc} A_{n1}^{T} & \cdots & & & & & \cdots & A_{nn}^{T}\end{array} \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cccccccc} \begin{array}{c} a_{11}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{n1} \end{array} & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \boxed{\begin{array}{c} a_{1j}\\ \\a_{ij}\\ \vdots\\ \\a_{nj} \end{array}} & & & & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \begin{array}{c} a_{1n}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ a_{nn} \end{array}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccc} \left|A\right| & 0 & \dots & & & & \dots & 0\\ 0 & \left|A\right|\\ \vdots & & \ddots\\ & & & & & & & \vdots\\ & & & & & & & 0\\ 0 & \dots & & & & \dots & 0 & \left|A\right| \end{array}\right)=\left|A\right|E.\label{cis} \end{equation} Обозначим матрицу, составленную из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы $A$, как ${\cal A}$ (А фигурное) \[ {\cal A}\equiv\left(\begin{array}{cccccccc} \begin{array}{c} A_{11}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ A_{n1} \end{array} & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \begin{array}{c} A_{1k}\\ \\A_{ik}\\ \vdots\\ \\A_{nk} \end{array} & & & & \begin{array}{c} \dots\\ \\\\\\\\\dots \end{array} & \begin{array}{c} A_{1n}\\ \vdots\\ \\\\\vdots\\ A_{nn} \end{array}\end{array}\right), \] и получим (\ref{cis}) в виде ${\cal A}^{T}A=\left|A\right|E$, а тогда $\frac{{\cal A}^{T}}{\left|A\right|}A=E$. Но матрица, на которую если умножить $A$, получится $E$, называется обратной матрицей. Так мы получаем формулу для обратной матрицы: \[ \boxed{A^{-1}=\frac{{\cal A}^{T}}{\left|A\right|}.} \] Заодно мы выясняем, для каких матриц не существует обратных (а они есть не для всех): обратных нет для матриц с нулевым определителем. Такие матрицы называются вырожденными.

Считать обратные матрицы при помощи этого метода и применять их потом мы будем в следующей части.

Матричные уравнения

Пусть известны матрицы $A$ и $B$, а матрица $X$ задана уравнением $AX=B$. Тогда обе части этого уравнения можно умножить на $A^{-1}$ слева (так как множители матричного произведения переставлять нельзя, разница есть). Тогда получится \[ A^{-1}\cdot\left|AX=B\right., \] \[ A^{-1}AX=EX=X=A^{-1}B, \] \[ X=A^{-1}B. \] Если матрица $X$ задана уравнением $XA=B$, то умножать на $A^{-1}$ надо справа: \[ XAA^{-1}=XE=X=BA^{-1}. \]

Пример: решим уравнение \[ \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0\\ 2 & 5 & -2\\ 0 & -2 & 5 \end{array}\right)X=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right). \] Вычислим к элементам матрицы $A$алгебраические дополнения: \[ A_{11}=\left|\begin{array}{rr} 5 & -2\\ -2 & 5 \end{array}\right|=25-4=21,\qquad A_{12}=-\left|\begin{array}{rr} 2 & -2\\ 0 & 5 \end{array}\right|=-10, \] и т.д. Найдём определитель матрицы $A$, разложив его по верхней строке: \[ \det A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=21\cdot1-10\cdot2+0=1. \] Матрица $A$ невырожденная, $A^{-1}$ для неё существует, и сейчас мы её составим. Сначала запишем матрицу алгебраических дополнений (и заметим, что она симметричная, т.е. ${\cal A}^{T}={\cal A}$), потом получим и обратную: \[ {\cal A}=\left(\begin{array}{rrr} 21 & -10 & -4\\ -10 & 5 & 2\\ -4 & 2 & 1 \end{array}\right),\qquad{\cal A}^{T}={\cal A},\qquad A^{-1}=\frac{{\cal A}^{T}}{\left|A\right|}=\frac{{\cal A}}{1}={\cal A}, \] на которую домножим уравнение слева, и получим $X$: \[ X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{rrr} 21 & -10 & -4\\ -10 & 5 & 2\\ -4 & 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 21 & -14 & -10\\ -10 & 7 & 5\\ -4 & 3 & 2 \end{array}\right). \]

Задание: \[ X\left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & -1\\ 2 & -1 & 2\\ -1 & 2 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 5 & 5 & 2\\ 5 & 8 & -1 \end{array}\right), \] \[ \left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0\\ 0 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right)X=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1\\ -1 & -1 \end{array}\right), \] \[ \left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & -1\\ 2 & -1 & 2\\ -1 & 2 & 2 \end{array}\right)X=\left(\begin{array}{r} 7\\ 1\\ 1 \end{array}\right), \] \[ X\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 2\\ 2 & 3 & 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0\\ 0 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right). \]

Правило Крамера

Системой линейных уравнений называется такая: \[ \left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}+\dots+a_{mn}x_{n}=b_{m}, \end{array}\right. \] где $a_{ik}$ – известные коэффициенты, $b_{i}$ – свободные слагаемые, а $x_{k}$ – искомые переменные. Из левых и правых частей этих уравнений можно составить столбцы, приравнять их, и записать, таким образом, систему в виде матричного уравнения. Про столбец в левой части заметим, что он является произведением матрицы $A$, составленной из коэффициентов $a_{ik}$, и столбца $X$, составленного из $x_{k}$. Тогда матричное уравнение запишется в виде \[ AX=B, \] где \[ B=\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ \vdots\\ \\b_{m} \end{array}\right),\qquad X=\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ \\x_{n} \end{array}\right). \] В случае если $m=n$ (число уравнений совпадает с числом неизвестных), и матрица $A$ невырожденная, можно найти $X$ привычным образом: \[ X=A^{-1}B. \] Но в случае, когда $B$ – столбец, можно упростить вычисление элементов $X$: \[ x_{i}=x_{i1}=\sum_{k=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ik}b_{k1}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\left({\cal A}^{T}\right)_{ik}}{\det A}b_{k1}=\frac{1}{\det A}\sum_{k=1}^{n}b_{k1}A_{ki}, \] а последняя сумма, по формуле (\ref{sb}), есть определитель матрицы $A$, в которую на $i$-е место подставлен столбец $B$. Такой определитель обычно обозначается как $\Delta_{i}$, при этом $\det A$ обозначается как $\Delta$ (для единообразия), и тогда \[ \boxed{x_{i}=\frac{\Delta_{i}}{\Delta}.} \] Решение систем уравнений по этой формуле называется решением по правилу Крамера, и, как видите, оно применимо только в довольно специальных случаях.

Пример: \[ \left\{ \begin{array}{ll} 2x_{1}+x_{2}+x_{3} & =3\\ x_{1}+2x_{2}+x_{3} & =0\\ x_{1}+x_{2}+2x_{3} & =0 \end{array}\right. \] \[ A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right),\quad A_{1}=\left(\begin{array}{ccc} \boxed{\begin{array}{c} 3\\ 0\\ 0 \end{array}} & \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array} & \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 2 \end{array}\end{array}\right),\quad A_{2}=\left(\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 1 \end{array} & \boxed{\begin{array}{c} 3\\ 0\\ 0 \end{array}} & \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 2 \end{array}\end{array}\right),\quad A_{3}=\left(\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 1 \end{array} & \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array} & \boxed{\begin{array}{c} 3\\ 0\\ 0 \end{array}}\end{array}\right); \] \[ \Delta=4,\quad\Delta_{1}=9,\quad\Delta_{2}=-3,\quad\Delta_{3}=-3; \] \[ x=\frac{9}{4},\quad x=-\frac{3}{4},\quad x=-\frac{3}{4}. \]

Задание: решить системы \[ \left\{ \begin{array}{r} 4x-2y=4\\ -3x+y=-2 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{r} x+2y+2z=9\\ 2x+y-2z=0\\ 2x-2y+z=0 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{r} x-3y-z=-4\\ -2x+7y+2z=10\\ 3x+2y-4z=9 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{r} -2x+3y+z=2\\ 3x+6y+2z=11\\ x+2y+z=4 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x-y-6z+3t+1=0\\ 7x-4y+2z-15t+32=0\\ x-2y-4z+9t-5=0\\ x-y+2z-6t+8=0 \end{array}\right. \]