Есть ещё два способа уменьшить порядок уравнений, работающих, когда уравнения оказываются однородными или обобщённо-однородными.

Однородные

Если при замене $y$ на $ky$, где $k$ – константа, $k$ сокращается и уравнение не меняется, уравнение называется однородным. В нём применяется замена $y'=yz$, где $z\left(x\right)$ – новая искомая функция. Каждая производная заменяется при этом на выражение на порядок меньше: \[ y''=y'z+yz'=yz^{2}+yz'=y\left(z^{2}+z'\right), \] \[ y'''=y'\left(z^{2}+z'\right)+y\left(2zz'+z''\right)=y\left[z\left(z^{2}+z'\right)+\left(2zz'+z''\right)\right]=y\left(z^{3}+3zz'+z''\right), \] \[ y^{(4)}=y'\left(z^{3}+3zz'+z''\right)+y\left[3z^{2}z'+3z'{}^{2}+3zz''+z'''\right]=y\left[z^{4}+6z^{2}z'+3z'{}^{2}+4zz''+z'''\right], \] и т.д. Далее $y$ сократится в силу однородности, и в уравнении меньшего порядка останется две переменные, что нам и было нужно.

Пример: № 466 \[ xyy''+xy'{}^{2}=2yy' \] Подставим $y=ky$ (и тогда $y'=ky'$, $y''=ky''$) \[ x\left(ky\right)\left(ky''\right)+x\left(k^{2}y'{}^{2}\right)=2\left(ky\right)\left(ky'\right), \] вынесем $k$ \[ k^{2}xyy''+k^{2}xy'{}^{2}=2k^{2}yy', \] сократится $k^{2}$, и получится исходное уравнение: \[ xyy''+xy'{}^{2}=2yy'. \] Значит, уравнение однородное и надо заменять $y'=yz$: \[ xy\left(y\left(z^{2}+z'\right)\right)+x\left(yz\right)^{2}=2y\left(yz\right), \] вынесем $y$ \[ xy^{2}\left(z^{2}+z'\right)+xy^{2}z^{2}=2y^{2}z, \] и сократим \[ x\left(z^{2}+z'\right)+xz^{2}=2z, \] и вот оно, обыкновенное уравнение первого порядка \[ xz'+2xz^{2}=2z, \] \[ z'-\frac{2}{x}z=-2z^{2}, \] уравнение Бернулли \[ \frac{z'}{z^{2}}-\frac{2}{x}\frac{1}{z}=-2, \] Заменим $u=-\frac{1}{z}$, $u'=\frac{z'}{z^{2}}$ \begin{equation} u'+\frac{2}{x}u=-2.\label{lin} \end{equation} Для решения линейного уравнения сначала найдём частное решение такого: \[ u_{0}'+\frac{2}{x}u_{0}=0, \] \[ \frac{u_{0}'}{u_{0}}=-\frac{2}{x},\quad u_{0}=x^{-2}. \] Заменим \[ u=x^{-2}u_{1},\quad u'=x^{-2}u_{1}'-2x^{-3}u_{1} \] в уравнении (\ref{lin}): \[ x^{-2}u_{1}'-2x^{-3}u_{1}+\frac{2}{x}x^{-2}u_{1}=-2, \] \[ x^{-2}u_{1}'=-2, \] \[ u_{1}'=-2x^{2},\quad u_{1}=-\frac{2}{3}x^{3}+\tilde{C}_{1}, \] \[ u=x^{-2}u_{1}=x^{-2}\left(-\frac{2}{3}x^{3}+\tilde{C}_{1}\right)=-\frac{1}{z}. \] Ещё одна обратная замена $z=\frac{y'}{y}$: \[ z=-\frac{x^{2}}{-\frac{2}{3}x^{3}+C_{1}}=\frac{3x^{2}}{2x^{3}-3\tilde{C}_{1}}=\frac{y'}{y}, \] \[ \frac{y'}{y}=\frac{3x^{2}}{2x^{3}-3\tilde{C}_{1}}, \] \[ \ln\left|y\right|=\frac{1}{2}\ln\left|2x^{3}-3C_{1}\right|+\tilde{C}_{2}=\ln\sqrt{\left|2x^{3}-3\tilde{C}_{1}\right|}+\tilde{C}_{2}, \] \[ \left|y\right|=e^{\tilde{C}_{2}}\sqrt{\left|2x^{3}-3\tilde{C}_{1}\right|}, \] Заменим постоянные интегрирования $\pm e^{\tilde{C}_{2}}\equiv C_{2}$, $3\tilde{C}_{1}=C_{1}$: \[ y=\pm e^{\tilde{C}_{2}}\sqrt{\left|2x^{3}-3\tilde{C}_{1}\right|}=C_{2}\sqrt{\left|2x^{3}-C_{1}\right|}. \]

Задание: № 463, 464.

Обобщённо-однородные

Порядок уравнения понижается, если оно является однородным относительно $x$ и $y$ в обобщенном смысле, т. е. не меняется от замены $x$ на $kx$, $y$ на $k^{m}y$ (при этом $y'$ заменяется на $k^{m-1}y'$, $y''$ – на $k^{m-2}y''$ и т. д.). Чтобы узнать, будет ли уравнение однородным, и найти число $m$, надо приравнять друг другу показатели степеней, в которых число $k$ будет входить в каждый член уравнения после указанной выше замены. Например, в первый член уравнения \[ 2x^{4}y''-3y^{2}=x^{4} \] после этой замены число $k$ будет входить в степени $4+\left(m-2\right)$, во второй – в степени $2m$, в третий --- в степени 4. Следовательно, $m$ должно удовлетворять уравнениям \[ 4+\left(m-2\right)=2m=4. \]

Отсюда $m=2$. Если же полученные уравнения для $m$ будут несовместными, то дифференциальное уравнение не является однородным в указанном смысле. После того как число $m$ найдено, надо сделать замену переменных \[ \left\{ \begin{array}{l} x=e^{t},\\ y=ze^{mt}; \end{array}\right. \] где $z=z\left(t\right)$ – новая неизвестная функция, a $t$ – новое независимое переменное. Тогда \[ \frac{d}{dx}\left\{ \begin{array}{l} x=e^{t},\\ y=ze^{mt}, \end{array}\right.\qquad\left\{ \begin{array}{l} 1=e^{t}t'_{x},\\ y'=\left(ze^{mt}\right)_{t}^{\prime}t'_{x}, \end{array}\right.\qquad\left\{ \begin{array}{l} t'_{x}=e^{-t},\\ y'=\left(z'e^{mt}+mze^{mt}\right)e^{-t}, \end{array}\right. \] \[ y'=\left(z'+mz\right)e^{(m-1)t}, \] \[ y''=\frac{dy'}{dt}\frac{dt}{dx}=\left[\left(z''+mz'\right)e^{(m-1)t}+\left(m-1\right)\left(z'+mz\right)e^{(m-1)t}\right]e^{-t}= \] \[ =\left[z''+\left(2m-1\right)z'+\left(m-1\right)mz\right]e^{(m-2)t}, \] и т.д.

Получим уравнение, в которое не входит независимое переменное $t$. Порядок такого уравнения понижается одним из ранее рассмотренных способов (скорее всего, вторым – заменой $z'=u\left(z\right)$).

Пример: № 473.

Задание: № 474, 475.