Тригонометрия многих вводит в уныние. Часто можно видеть, как сознательные люди носят с собой потёртые простыни с многими десятками формул, помнить которые наизусть нет возможности, а связи между ними они не видят. Несознательные же просто пропускают всё, что содержит тригонометрию хоть как-то.

Меж тем, в ней очень немного формул (у меня получилось 10), которые действительно надо помнить. Остальные можно быстро получить из этих немногих. Ниже я буду показывать, как это делается.

1 Основы

Сначала перечислим то, что таки надо держать в голове.

Основное тригонометрическое \begin{equation} \sin^{2}x+\cos^{2}x=1.\label{osn} \end{equation}

Чётность \begin{equation} \sin\left(-x\right)=-\sin\left(x\right),\label{sin_nech} \end{equation} \begin{equation} \cos\left(-x\right)=\cos\left(x\right).\label{cos_ch} \end{equation}

Формула приведения \begin{equation} \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x.\label{priv} \end{equation}

Синус суммы \begin{equation} \sin\left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.\label{sinsum} \end{equation}

Определения тангенса и котангенса: \begin{equation} \mathrm{tg}\,x\equiv\frac{\sin x}{\cos x},\qquad\mathrm{ctg}\,x\equiv\frac{\cos x}{\sin x}.\label{oprtan} \end{equation} При $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ \begin{equation} \sin\alpha > 0,\quad\cos\alpha > 0.\label{I4} \end{equation} И ещё \begin{equation} \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\label{sinpi6} \end{equation}

2 Общие следствия

2.1 Формулы приведения

Аналогично (\ref{priv}) для косинуса

\[ \frac{\pi}{2}-x=y\quad\Longrightarrow\quad\frac{\pi}{2}=x+y\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}-y. \] Подставим в (\ref{priv}): \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-y\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-y\right), \] \begin{equation} \cos\left(\frac{\pi}{2}-y\right)=\sin\left(y\right).\label{priv_cos} \end{equation}

Варианты с плюсами

Из (\ref{priv}) и (\ref{cos_ch}): \begin{equation} \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(-x\right)\right)=\cos\left(-x\right)=\cos x,\label{priv_sin_p} \end{equation}

из (\ref{priv_cos}) и (\ref{sin_nech}): \begin{equation} \cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(-x\right)\right)=\sin\left(-x\right)=-\sin x.\label{priv_cos_p} \end{equation}

С полуоборотами

Используем (\ref{priv_sin_p}) и (\ref{priv_cos_p}): \begin{equation} \sin\left(x+\pi\right)=\sin\left(\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x,\label{sinpluspi} \end{equation}

и так же (\ref{priv_cos_p}) и (\ref{priv_sin_p}): \begin{equation} \cos\left(x+\pi\right)=\cos\left(\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x.\label{cospluspi} \end{equation} $\pi$ меняет знак синуса и косинуса.

С целыми оборотами (период)

Используются две предыдущих формулы \[ \sin\left(x+2\pi\right)=\sin\left(\left(x+\pi\right)+\pi\right)=-\sin\left(x+\pi\right)=-\left(-\sin x\right)=\sin x, \] \[ \cos\left(x+2\pi\right)=\cos\left(\left(x+\pi\right)+\pi\right)=-\cos\left(x+\pi\right)=-\left(-\cos x\right)=\cos x; \] что позволяет вернуться к полуоборотам \[ \sin\left(x-\pi\right)=\sin\left(x-\pi+2\pi\right)=\sin\left(x+\pi\right)=-\sin x, \] \[ \cos\left(x-\pi\right)=\cos\left(x-\pi+2\pi\right)=\cos\left(x+\pi\right)=-\cos x. \] $-\pi$ тоже меняет знак синуса и косинуса.

2.2 Суммы функций и суммы аргументов

Разложение функций

Синус суммы (\ref{sinsum}) применим, чтобы получить синус разности. Ещё используем свойства (не)чётности (\ref{cos_ch}), (\ref{sin_nech}) \begin{equation} \sin\left(a-b\right)=\sin\left(a+\left(-b\right)\right)=\sin a\cos\left(-b\right)+\cos a\sin\left(-b\right)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.\label{sinraz} \end{equation}

Преобразовав косинус по (\ref{priv}) в синус, получим косинус суммы. Используются также (\ref{sinraz}), (\ref{priv}), (\ref{priv_cos}): \begin{equation} \cos\left(a+b\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-a-b\right)=\sin\left(\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-b\right)=\label{cossum} \end{equation} \[ =\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\cos b-\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin b=\cos a\cos b-\sin a\sin b. \]

Для полноты картины получим и косинус разности по аналогии с синусом (\ref{cossum}), (\ref{cos_ch}), (\ref{sin_nech}):

\begin{equation} \cos\left(a-b\right)=\cos\left(a+\left(-b\right)\right)=\cos a\cos\left(-b\right)-\sin a\sin\left(-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.\label{cosraz} \end{equation}

Частный случай $b=a$.

позволит получить синус и косинус двойного угла. (\ref{sinsum}): \begin{equation} \sin2a=\sin\left(a+a\right)=\sin a\cos a+\cos a\sin a=2\sin a\cos a,\label{sin2a} \end{equation} (\ref{cossum}), (\ref{osn}): \[ \cos2a=\cos\left(a+a\right)=\cos a\cos a-\sin a\sin a=\cos^{2}a-\sin^{2}a= \] \begin{equation} =\left(1-\sin^{2}a\right)-\sin^{2}a=1-2\sin^{2}a=\label{cos2a} \end{equation} \[ =\cos^{2}a-\left(1-\cos^{2}a\right)=2\cos^{2}a-1 \] Отсюда получается пара формул, известных как ``формулы понижения степени''. Хотя они, в рамках тригонометрии являются не более чем следствиями частного случая, в мат.анализе они используются регулярно, причём в обе стороны, и помнить их весьма полезно. \[ \cos2a=1-2\sin^{2}a, \] \[ 2\sin^{2}a=1-\cos2a, \] \begin{equation} \sin^{2}a=\frac{1-\cos2a}{2};\label{sinpon} \end{equation} \[ \cos2a=2\cos^{2}a-1, \] \[ 1+\cos2a=2\cos^{2}a, \] \begin{equation} \cos^{2}a=\frac{1+\cos2a}{2}.\label{cospon} \end{equation}

Сложение функций

Сложим (\ref{sinsum}) и (\ref{sinraz}): \[ +\begin{array}{c} \sin\left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\ \sin\left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos a\sin b \end{array} \] \begin{equation} \sin\left(a+b\right)+\sin\left(a-b\right)=2\sin a\cos b\label{poluf1} \end{equation} 1) Разделив (\ref{poluf1}) на 2, можно получить разложение произведения синуса и косинуса \begin{equation} \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin\left(a+b\right)+\sin\left(a-b\right)\right]\label{prsincos} \end{equation} 2) а выполнив в (\ref{poluf1}) замену \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} a+b=\alpha,\\ a-b=\beta, \end{array}\right.\label{zama} \end{equation} \begin{equation} a=\frac{\alpha+\beta}{2},\quad b=\frac{\alpha-\beta}{2};\label{zamb} \end{equation} получим сумму синусов \begin{equation} \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\label{sumsin} \end{equation} из которой простым применением (\ref{sin_nech}) получается и разность синусов \begin{equation} \sin\alpha-\sin\beta=\sin\alpha+\sin\left(-\beta\right)=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}.\label{razsin} \end{equation} Аналогично поступим для косинусов: сложим (\ref{cossum}) и (\ref{cosraz}) \[ +\begin{array}{c} \cos\left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ \cos\left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \end{array} \] \[ \cos\left(a+b\right)+\cos\left(a-b\right)=2\cos a\cos b, \] откуда получим произведение косинусов: \begin{equation} \cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos\left(a+b\right)+\cos\left(a-b\right)\right];\label{prcos} \end{equation} и сумму косинусов при применении (\ref{zamb}): \begin{equation} \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.\label{sumcos} \end{equation} Теперь вычтем (\ref{cossum})-(\ref{cosraz}): \[ -\begin{array}{c} \cos\left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ \cos\left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \end{array} \] \[ \cos\left(a+b\right)-\cos\left(a-b\right)=-2\sin a\sin b, \] и получим произведение синусов: \begin{equation} \sin a\sin b=\frac{1}{-2}\left[\cos\left(a+b\right)-\cos\left(a-b\right)\right]=\frac{1}{2}\left[\cos\left(a-b\right)-\cos\left(a+b\right)\right];\label{prsin} \end{equation} и, с применением (\ref{zamb}), разность косинусов: \begin{equation} \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.\label{razcos} \end{equation}

3 Свойства (ко)тангенса

Далее формулы из (\ref{oprtan}) будут использоваться по умолчанию, явно ссылаться я на них не буду.

Из формул (\ref{sin_nech}) и (\ref{cos_ch}) следует нечётность тангенса: \begin{equation} \mathrm{tg}\,\left(-x\right)=\frac{\sin\left(-x\right)}{\cos\left(-x\right)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\mathrm{tg}\,x,\label{tan_nech} \end{equation} из \ref{priv} и \ref{priv_cos} формулы приведения для (ко)тангенса \begin{equation} \mathrm{tg}\,\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=\frac{\cos x}{\sin x}=\mathrm{ctg}\,x,\label{tpriv1} \end{equation} \begin{equation} \mathrm{ctg}\,\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=\frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}\,x;\label{tpriv2} \end{equation} из \ref{priv_sin_p} и \ref{priv_cos_p} \begin{equation} \mathrm{tg}\,\left(x\pm\pi\right)=\frac{\sin\left(x\pm\pi\right)}{\cos\left(x\pm\pi\right)}=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\mathrm{tg}\,x,\label{tpriv3} \end{equation} \begin{equation} \mathrm{ctg}\,\left(x\pm\pi\right)=\mathrm{ctg}\,x.\label{tpriv4} \end{equation} Из формул (\ref{sinsum}) и (\ref{cossum}) получается тангенс суммы \begin{equation} \mathrm{tg}\,\left(a+b\right)=\frac{\sin\left(a+b\right)}{\cos\left(a+b\right)}=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}=\frac{\mathrm{tg}\,a+\mathrm{tg}\,b}{1-\mathrm{tg}\,a\mathrm{tg}\,b},\label{tansum} \end{equation} а с учётом (\ref{tan_nech}) – и разности: \begin{equation} \mathrm{tg}\,\left(a-b\right)=\frac{\mathrm{tg}\,a+\mathrm{tg}\,\left(-b\right)}{1-\mathrm{tg}\,a\mathrm{tg}\,\left(-b\right)}=\frac{\mathrm{tg}\,a-\mathrm{tg}\,b}{1+\mathrm{tg}\,a\mathrm{tg}\,b}.\label{tanraz} \end{equation}

4 Гиперболические функции и задание

Существуют функции, называемые гиперболическими функциями.

Гиперболический синус: \[ \mathrm{sh}\,x\equiv\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \]

Гиперболический косинус: \[ \mathrm{ch}\,x\equiv\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \]

Гиперболический тангенс: \[ \mathrm{th}\,x\equiv\frac{\mathrm{sh}\,x}{\mathrm{ch}\,x}, \]

Гиперболический котангенс: \[ \mathrm{cth}\,x\equiv\frac{\mathrm{ch}\,x}{\mathrm{sh}\,x}. \] Есть ещё соответствующие арк- функции, обратные к исходным.

Эти функции очень похожи на тригонометрические по свойствам. Например, возведём в квадраты \[ \mathrm{sh}^{2}\,x=\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4},\qquad\mathrm{ch}^{2}\,x=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}; \] и вычтем: \[ \mathrm{ch}^{2}\,x-\mathrm{sh}^{2}\,x=\frac{4}{4}=1, \] получив формулу, которая от (\ref{osn}) отличается минусом. Можно назвать её основным гиперболическим тождеством.

Если же формулы выше не вычесть, а сложить, получим \[ \mathrm{ch}^{2}\,x-\mathrm{sh}^{2}\,x=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}+\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\frac{2e^{2x}+2e^{-2x}}{4}=\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}=\mathrm{ch}\,2x, \] или \[ \mathrm{ch}\,2x=\mathrm{ch}^{2}\,x-\mathrm{sh}^{2}\,x. \] От косинуса двойного угла – тоже разница в минус.

Или сложим и вычтем сами определения: \[ \mathrm{ch}\,x+\mathrm{sh}\,x=e^{x}, \] \[ \mathrm{ch}\,x-\mathrm{sh}\,x=e^{-x}. \] Применим эти формулы для разложения гиперболического синуса суммы: \[ \mathrm{sh}\,\left(x+y\right)=\frac{e^{x+y}-e^{-x-y}}{2}=\frac{\left(\mathrm{ch}\,x+\mathrm{sh}\,x\right)\left(\mathrm{ch}\,y+\mathrm{sh}\,y\right)-\left(\mathrm{ch}\,x-\mathrm{sh}\,x\right)\left(\mathrm{ch}\,y-\mathrm{sh}\,y\right)}{2}= \] \[ =\frac{\left(\bcancel{\mathrm{ch}\,x\mathrm{ch}\,y}+\mathrm{ch}\,x\mathrm{sh}\,y+\mathrm{sh}\,x\mathrm{ch}\,y+\cancel{\mathrm{sh}\,x\mathrm{sh}\,y}\right)-\left(\bcancel{\mathrm{ch}\,x\mathrm{ch}\,y}-\mathrm{ch}\,x\mathrm{sh}\,y-\mathrm{sh}\,x\mathrm{ch}\,y+\cancel{\mathrm{sh}\,x\mathrm{sh}\,y}\right)}{2}= \] \[ =\frac{2\mathrm{ch}\,x\mathrm{sh}\,y+2\mathrm{sh}\,x\mathrm{ch}\,y}{2}=\mathrm{sh}\,x\mathrm{ch}\,y+\mathrm{ch}\,x\mathrm{sh}\,y. \] Даже знаки получились те же, что в тригонометрическом варианте.

Задание: проверить гиперболические функции на чётность, получить гиперболические аналоги формул (\ref{sinraz}), (\ref{cossum}), (\ref{cosraz}), (\ref{sin2a}), (\ref{sinpon}),

Задание на дом: получить гиперболические аналоги формул (\ref{cospon}), (\ref{prsincos}), (\ref{sumsin}), (\ref{razsin}), (\ref{prcos}), (\ref{sumcos}), (\ref{prsin}), (\ref{razcos}), (\ref{tansum}).

5 Значения тригонометрических функций на простых углах

5.1 Синусы и косинусы углов, кратных $\frac{\pi}{6}$

(\ref{osn}) \begin{equation} \cos^{2}\frac{\pi}{6}=1-\sin^{2}\frac{\pi}{6}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4},\quad\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\label{cospi6} \end{equation} (\ref{sin2a}) \begin{equation} \sin\frac{\pi}{3}=\sin\left(2\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}=2\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\label{sinpi3} \end{equation} (\ref{cos2a}) \begin{equation} \cos\frac{\pi}{3}=\cos\left(2\frac{\pi}{6}\right)=\cos^{2}\frac{\pi}{6}-\sin^{2}\frac{\pi}{6}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\label{cospi3} \end{equation} \begin{equation} \sin\frac{2\pi}{3}=\sin\left(2\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}=2\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\label{sin2pi3} \end{equation} \begin{equation} \cos\frac{2\pi}{3}=\cos\left(2\frac{\pi}{3}\right)=\cos^{2}\frac{\pi}{3}-\sin^{2}\frac{\pi}{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\label{cos2pi3} \end{equation}

5.2 Синусы и косинусы углов, кратных $\frac{\pi}{4}$

(\ref{sinraz}) \begin{equation} \sin0=\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}-\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{6}=0\label{sin0} \end{equation} (\ref{cosraz}) \begin{equation} \cos0=\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{6}=1\label{cos0} \end{equation} (\ref{priv}) \begin{equation} \sin\frac{\pi}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=\cos0=1\label{sinpi2} \end{equation} (\ref{priv_cos}) \begin{equation} \cos\frac{\pi}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=\sin0=0\label{cospi2} \end{equation} \begin{equation} \sin\pi=-\sin0=-0=0\label{sinpi} \end{equation} \begin{equation} \cos\pi=-\cos0=-1\label{cospi} \end{equation} $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, \[ \sin\frac{\pi}{4} > 0,\qquad\cos\frac{\pi}{4} > 0. \] \begin{equation} \sin^{2}\frac{\pi}{4}=\frac{1-\cos2\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{2}}{2}=\frac{1}{2},\qquad\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\label{sinpi4} \end{equation} \begin{equation} \cos^{2}\frac{\pi}{4}=\frac{1+\cos2\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{2}}{2}=\frac{1}{2},\qquad\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\label{cospi4} \end{equation}

5.3 (ко)тангенс

Ещё несколько значений на основе ранее вычисленного: \[ \mathrm{tg}\,0=\frac{\sin0}{\cos0}=\frac{0}{1}=0 \] \[ \mathrm{tg}\,\frac{\pi}{6}=\frac{\sin\frac{\pi}{6}}{\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \mathrm{tg}\,\frac{\pi}{3}=\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3} \] \[ \mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{2}=\frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}}=\frac{0}{1}=0 \] Остальные значения можно получить самостоятельно.

6 Демонстрационное вычисление: $\frac{\pi}{12}$

Углы не ограничиваются табличными. \[ \frac{\pi}{12}=\frac{4\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} \] Дальше используем синус разности (\ref{sinraz}) и готовые значения функций (\ref{sinpi3}), (\ref{cospi3}), (\ref{sinpi4}), (\ref{cospi4}): \[ \sin\frac{\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}. \] Аналогичные углы вынесены в задания для самостоятельного решения.

Задания:

Получить $\cos\frac{\pi}{12}$, $\cos\frac{17\pi}{12}$, $\sin\frac{19\pi}{12}$.

Получить $\sin\frac{\pi}{8}$, $\cos\frac{\pi}{8}$.

Для тех, кому скучно: получить $\sin\frac{\pi}{10}$.