Общее решение однородного линейного уравнения \begin{equation} L\left(y\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}y^{(k)}=0\label{eq:ur} \end{equation} есть линейная комбинация линейно независимых частных решений $y_{1},y_{2},\dots,y_{n}$ с постоянными коэффициентами $C_{1},C_{2},\dots,C_{n}$: \begin{equation} y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}+\dots+C_{n}y_{n}.\label{re6} \end{equation} Если функции $y_{1},y_{2},\dots,y_{n}$ окажутся зависимыми, некоторую из них можно выразить как линейную комбинацию остальных. Если заменить её этой комбинацией, то после переобозначения коэффициентов решение (\ref{re6}) будет зависеть от постоянных параметров, которых будет меньше $n$.

Если коэффициенты в уравнении $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ постоянны, то алгоритмы нахождения частных решений, изучавшиеся нами раньше, сразу дают независимые решения. Но для уравнений с переменными коэффициентами за этим нужно проследить самостоятельно, иначе какие-то решения мы можем упустить. Впрочем, это требование иногда может нам в нахождении полного множества решений даже помочь.

(more…)

Есть ещё два способа уменьшить порядок уравнений, работающих, когда уравнения оказываются однородными или обобщённо-однородными.

(more…)

Линейные уравнения первого порядка

Линейные уравнения первого порядка имеют вид \begin{equation} y^{\prime}+a\left(x\right)y=b\left(x\right).\label{lin} \end{equation}

(more…)

Линейная система с постоянными коэффициентами имеет вид \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_{1}=a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}+f_{1}\left(t\right)\\ \dot{x}_{2}=a_{21}x_{1}+\dots+a_{2n}x_{n}+f_{2}\left(t\right)\\ .............................\\ \dot{x}_{n}=a_{n1}x_{1}+\dots+a_{nn}x_{n}+f_{n}\left(t\right) \end{array}\right. \end{equation} где $x_{k}\left(t\right)$ – искомые функции, $t$ – независимый аргумент, $a_{jk}$ – постоянные коэффициенты $f_{k}\left(t\right)$ – явно заданные в системе выражения.

(more…)

1 Линейное уравнение

Линейным уравнением $n$-го порядка называется уравнение вида \begin{equation} \sum_{k=0}^{n}a_{k}y^{(k)}=f\left(x\right)\label{eq:ur} \end{equation}

(more…)

До этого мы рассматривали уравнения первого порядка, теперь перейдём к уравнениям более высоких порядков. \[ F\left(x,y,y',\dots y^{(n)}\right)=0 \] Первое, что приходит в голову при таком переходе – как-нибудь понизить порядок.

(more…)

Если правая часть неоднородного уравнения, записанного в каноническом виде \begin{equation} \sum_{k=0}^{n}a_{k}y^{(k)}=f\left(x\right)\label{eq:main} \end{equation} не относится к одному из рассмотренных выше классов функций, можно воспользоваться методом вариации постоянных. Он более хлопотный, но может применяться в качестве оружия последнего шанса.

(more…)