Начну с объявления: в следующий раз (23.12.2020) будет контрольная работа, и пройдёт она очно.
Вот решение № 132, на этот раз в формате pdf. Логика весьма аналогична задачам на функции Бесселя (напр. 114), так что разбирайте и решайте № 133. С вопросами обращайтесь, если не будет вопросов — отметьтесь.
ОБН.: Токс работает.
Полиномы Лежандра находятся по формуле Родрига: \[ P_{m}\left(x\right)=\frac{1}{2^{m}m!}\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left(1-x^{2}\right)^{m} \]
При решении задач, встречавшихся ранее, методом разделения переменных, в пространственной части получались синусы/косинусы. Для однородных задач инейная комбинация решений есть тоже решение, а линейная комбинация получавшихся синусов образовывала ряд Фурье, в виде которого и предъявлялся ответ.
Однако ранее область в пространстве, на которой мы искали функцию Х, была обычно прямоугольной. При решении похожих задач, но для круга, часто аналогично синусам появляются функции Бесселя, а затем и ряды по функциям Бесселя. Одну круглую задачу (задачу Дирихле) мы уже рассмотрели, но там функций Бесселя удалось чудом избежать. Ниже будет решаться задача, где эта благодать закончится.
Задание: Для разминки решите №96 и 97. Они столь просты, что не требуют пояснений.
Уравнению Бесселя \[ y''+\frac{1}{x}y'+\left(1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}}\right)y=0 \] удовлетворяют функции Бесселя: \[ J_{\pm\nu}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\Gamma\left(k\pm\nu+1\right)k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k\pm\nu}. \]
Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников