Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Иногда приходится искать экстремаль функционала \[ J\left[y\right]=\intop_{x_{1}}^{x_{2}}F\left(x,y,y'\right)dx, \] с закреплёнными границами, но не на множестве гладких (т.е. непрерывных вместе с производными) функций, как было до этого момента.

(more…)

В прошлый раз разбирались функционалы, зависящие от производных выше первой. Функционалы, зависящие от многих функций описываются в том же §4, во второй половине теоретической части. Задачи на них начинаются с № 4.6, решения приведены в конце задачника. Решите № 4.6 и 4.7.

Продолжает тему экстремалей функционалов более сложного вида §7, где рассматриваются функционалы, зависящие от функций многих переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского постарайтесь получить сами, оно получается очень похоже на уравнение Эйлера-Пуассона, вывод которого показан в прошлом видео по теме. Решите № 7.1 и 7.4.

Дальше начнутся ситуации, в которых изменяться будет не функционал, а граничные условия. Первым делом рассмотрим функционалы с подвижными границами.

(more…)

1. Прочитать у Захарова, скачанного в прошлый раз, про достаточные условия экстремумов. Имейте в виду, что в методичке опечатка: центральное поле экстремалей в условии на стр. 10 проходит через точку \( A(x_1,y_1) \), а не \((x_1,x_2)\).
2. Не обращая внимания на некоторую мутность общетеоретического объяснения из методички, прочитайте практические примеры исследований на достаточные условия в решениях номеров 3.1 — 3.15 (не обязательно все до конца, нужно количество, достаточное для просветления)
3. Если просветление не наступит — задавайте вопросы мне.
4. Особо дотошные могут дополнить объяснение из методички главой 8 из Эльсгольца (Л.Э.Эльсгольц «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»), там всё очень подробно. При отсутствии Эльсгольца — пишите мне.

Во время занятия по расписанию буду специально сидеть и отвечать на вопросы. В фоновом режиме буду отвечать и до, и после. Обращайтесь.

За невозможностью провести контрольную — начнём вариационное исчисление.

1. Скачать методичку.
2. Разобрать первые три параграфа (до необходимых условий экстремума).
3. Пройти от стадии «ничего не понятно» до конкретных вопросов и задать таковые мне.
4. * Получить уравнение Эйлера из второго определения вариации.
5. Найти экстремали (если таковые есть) в задачах 3.1 — 3.15. То, что не успеете на занятии — переходит в домашнее задание. Если не получается решить самостоятельно — в разделе «Ответы, указания, решения» приведены подробные решения к почти каждой задаче.

Достаточные условия будем рассматривать потом.