Демидович, №4347 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

12.11.2009

Демидович, №4347

Filed under: мат. ан. сем. 3 — Shine @ 12:42 дп

Постановка и математическая формулировка задачи

Вычислить интеграл

$\displaystyle \iint\limits_S \frac{dS}{h},$

(1)

где $S$ - поверхность эллипсоида, а $h$ - расстояние от центра эллипсоида до плоскости, касательной к элементу $dS$ поверхности эллипсоида.

Данный интеграл есть поверхностный интеграл первого рода. Начнём с параметризации поверхности, по которой необходимо провести интегрирование. Так как в задаче выбор системы координат не ограничивается, выберем такую систему координат, чтобы начало координат лежало в центре эллипсоида, а координатные оси совпадали с осями симметрии эллипсоида. Тогда уравнение эллипсоида запишется в каноническом виде:

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

(2)

В обобщённой сферической системе координат, связанной с декартовой системой координат следующими функциями перехода:

$\begin{displaymath} \begin{array}{c} x=ar\sin\theta\cos\varphi \\ y=br\sin\theta\sin\varphi \\ z=cr\cos\theta, \end{array}\end{displaymath}$

рассматриваемый эллипсоид представляет собой координатную поверхность, и уравнение (2) упростится в ней до следующей формы: $r=1$ . Декартовы координаты произвольной точки эллипсоида (тройку которых мы обозначим как радиус-вектор этой точки) в этом случае являются функцией от двух параметров: $\theta$ и $\varphi$ :

$\begin{displaymath} \vec r=\vec r(\theta,\varphi)=\left( \begin{array}{c} a\si... ...\\ b\sin\theta\sin\varphi \\ c\cos\theta \end{array}\right) \end{displaymath}$

Элемент поверхности $dS$

В случае поверхностного интеграла первого рода, каковой мы должны вычислить, скалярный элемент поверхности записывается так:

$\displaystyle dS=\sqrt{\vec r \mathstrut^{'}_{\theta}\mathstrut ^2\vec r \m... ...rut \cdot\vec r \mathstrut^{'}_{\varphi}\mathstrut \right)^2}d\theta d\varphi$

(3)

Производные радиус-вектора $\vec r$ по параметрам (т.е. касательные векторы) таковы:

$\displaystyle \vec r \mathstrut^{'}_{\theta}\mathstrut =\left( \begin{array}{... ...y}{c} -a\sin\theta\sin\varphi b\sin\theta\cos\varphi 0 \end{array}\right)$

(4)

Далее мы опустим промежуточные вычисления в силу громоздкости оных, оставив лишь промежуточные выводы. Квадраты модулей векторов $\vec r \mathstrut^{'}_{\theta}\mathstrut$ и $\vec r \mathstrut^{'}_{\varphi}\mathstrut$ таковы: $\vec r \mathstrut^{'}_{\theta}\mathstrut ^2=a^2\cos^2\theta\cos^2\varphi+b^2\cos^2\theta\sin^2\varphi+c^2\sin^2\theta$ , $\vec r \mathstrut^{'}_{\varphi}\mathstrut ^2=a^2\sin^2\varphi+b^2\sin^2\theta\cos^2\varphi$ ; их произведение после упрощения даёт следующее выражение:

$\begin{displaymath}\begin{split}\vec r \mathstrut^{'}_{\theta}\mathstrut ^2\ve... ...eta\left( a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi\right). \end{split}\end{displaymath}$

(5)

Скалярное произведение этих векторов приводится к такому виду:

$\displaystyle \vec r \mathstrut^{'}_{\theta}\mathstrut \cdot\vec r \mathstrut^{'}_{\varphi}\mathstrut =\frac{b^2-a^2}{4}\sin2\theta\sin2\varphi,$

и соответственно,

$\displaystyle \left( \vec r \mathstrut^{'}_{\theta}\mathstrut \cdot\vec r \... ...rut \right) ^{2}=\left( \frac{b^2-a^2}{4}\right)^2 \sin^22\theta\sin^22\varphi.$

(6)

Подставляя (5) и (6) в (3), получим

$\displaystyle dS=\sqrt{\frac{a^2b^2}{4}\sin^22\theta+c^2\sin^4\theta\left( a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi\right)}d\theta d\varphi$

(7)

Расстояние до касательной плоскости $h$

$h$ - это расстояние от центра эллипсоида до плоскости, касательной к элементу $dS$ поверхности эллипсоида. Т.е. если мы в точке эллипсоида с радиус-вектором $\vec r(\theta,\varphi)$ проведём касательную плоскость к эллипсоиду, и из начала координат опустим перпендикуляр к этой плоскости, то длина этого перпендикуляра будет требуемой величиной $h(\theta,\varphi)$ . Если этот перпендикуляр рассматривать как вектор, началом которого является начало координат, то этот вектор (обозначим его $\vec h$ ) по определению является радиус-вектором конца перпендикуляра, лежащего на касательной плоскости. Величина $h(\theta,\varphi)$ , очевидно, является модулем этого вектора.

Касательная плоскость к точке $\vec r(\theta,\varphi)$ натягивается на касательные векторы $\vec r \mathstrut^{'}_{\theta}\mathstrut$ и $\vec r \mathstrut^{'}_{\varphi}\mathstrut$ к этой точке. Вектор $\vec h$ , как и радиус-вектор любой другой точки, лежащей на касательной плоскости, удовлетворяет уравнению

$\displaystyle \left(\vec h-\vec r(\theta,\varphi)\right) \cdot \vec N =0,$

(8)

где $\vec N$ - вектор нормали к касательной плоскости. В качестве такового можно взять векторное произведение $\vec r \mathstrut^{'}_{\theta}\mathstrut$ и $\vec r \mathstrut^{'}_{\varphi}\mathstrut$ :

$\displaystyle \vec N\equiv \vec r \mathstrut^{'}_{\theta}\mathstrut \times \vec r \mathstrut^{'}_{\varphi}\mathstrut .$

(9)

С другой стороны вектор $\vec h$ перпендикулярен касательной плоскости, из чего следует, что он коллинеарен вектору нормали к этой плоскости:

$\displaystyle \vec h=k\vec N$

(10)

Подставляя $\vec h$ из (10) в (8) и выражая из полученного равенства $k$ , получим, что $k=\vec r\cdot \vec N/N^2$ , где $N^2=\vec N \cdot \vec N$ . Отсюда

$\displaystyle h^2=k^2N^2=\frac{\left( \vec r \cdot \vec N\right)^2 }{N^2}$

или

$\displaystyle \frac{1}{h}=\frac{\sqrt{N^2}}{\vec r \cdot \vec N}$

(11)

$\vec N$ найдём из определения (9), используя уравнения (4):

$\displaystyle \vec N=\vec ibc\sin^2\theta\cos\varphi+\vec j ac \sin^2\theta \sin \varphi + \vec k \frac{ab}{2}\sin 2\theta.$

(12)

Отсюда $\vec r \cdot \vec N=abc\sin\theta$ , $\left.\vec N\right. ^2=c^2\sin^4\theta\left( b^2\cos^2\varphi+a^2\sin^2\varphi\right)+1/4 a^2b^2\sin^2 2\theta$ . Подставив эти выражения в (11), получим:

$\displaystyle \frac{1}{h}=\frac{1}{abc\sin\theta}\sqrt{c^2\sin^4\theta\left( b^2\cos^2\varphi+a^2\sin^2\varphi\right)+\frac{a^2b^2}{4} \sin^2 2\theta}$

(13)

Сопоставив (7) и (13), нетрудно заметить, что

$\displaystyle \frac{abc\sin\theta}{h}=\frac{dS}{d\varphi d\theta}$

Интегрирование

Подставим в интеграл из (1) выражения для $dS$ и $1/h$ из (7) и (13):

$\displaystyle \iint\limits_S \frac{dS}{h}=\int\limits^{\pi}_0d\theta \int\limit... ...^2\cos^2\varphi+a^2\sin^2\varphi\right)+\frac{a^2b^2}{4} \sin^2 2\theta}\times$

$\displaystyle \times\sqrt{\frac{a^2b^2}{4}\sin^22\theta+c^2\sin^4\theta\left( a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi\right)}=$

(14)

$\displaystyle \frac{1}{abc}\int\limits^{\pi}_0d\theta \int\limits^{2\pi}_0d\var... ...^2\cos^2\varphi+a^2\sin^2\varphi\right)+a^2b^2\sin \theta\cos^2\theta \right)=$

$\displaystyle \frac{1}{abc}\left[ \int\limits_0^{\pi}d\theta\; c^2\sin^3\theta\... ...arphi+2\pi a^2b^2 \int\limits_0^{\pi}d\theta\;\sin\theta\cos^2\theta \right].$