Первый замечательный предел выглядит так: \[ \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \]

(more…)

Вот мы и добрались до того, зачем всё до этого было нужно: как брать интегралы. Применять для этого мы будем дифференцирование и интегрирование по параметрам несобственных интегралов.

(more…)

Сегодня будет второй замечательный предел в отдельных задачах. Нам в этом пригодится

Теорема 6. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

На самом деле, это собирательная формулировка для двух следующих ситуаций: если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится; и если она возрастает и ограничена сверху, она тоже сходится.

(more…)

Оказывается, что некоторые классы функций качественно «сильнее» других.

(more…)

Определение. Функцию, областью определения которой является множество $N$ натуральных чисел, называют последовательностью. Значения такой функции обозначают $x_{n}$ ($a_{n}$, $b_{n}$ и т. п.) и называют элементами последовательности, число $n$ называют номером элемента последовательности $x_{n}$.

(more…)

Несобственные интегралы, зависящие от параметра, и их сходимость

В случае, когда в интеграле присутствует ещё и параметр, от него начинает зависеть не только значение интеграла, но и сам факт его наличия (сходимости). Множество значений параметров, при которых интеграл сходится, называется его областью сходимости. Если параметр один, то это отрезки/интервалы на вещественной оси; но если интервалов становится много – область сходимости оказывается фигурой в более многомерном пространстве.

(more…)