Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Второй замечательный предел записывается так: \[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e, \]

(more…)

Логично расширить идею разложения, которое использовалось при определении дифференциала: если у приращения функции можно выделить линейную часть по приращению аргумента, то почему нельзя выделить части, зависящие от приращения аргумента квадратично, кубично и так далее? Эта мысль воплощается в способе разложения функций, который называется формулой Тейлора. Согласно ей, вокруг точки $x_{0}$ \[ f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}+R, \] причём коэффициенты $a_{k}$ не зависят от $x$ и вычисляются по формуле \[ a_{k}=\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}; \] а $R$ называется остаточным членом и оценивается разными способами.

(more…)

Производная от производной называется второй производной $y''\equiv(y')'$, производная второй производной – третьей производной $y'''\equiv(y'')'$ и так далее. Продифференцировав функцию $y$ $n$ раз, мы получим «энную» производную, обозначаемую $y^{(n)}$ (скобки добавляются, чтобы не путать со степенью). Свойства, которыми обладает вторая производная, таковы:

1) Линейность \[ \left(\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)\right)^{(n)}=\alpha f^{(n)}\left(x\right)+\beta g^{(n)}\left(x\right),\qquad\alpha,\beta=const \]

2) Обобщённое правило Лейбница (название неофициальное) \[ \left(uv\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)} \] Последнее хорошо запоминается тем, что напоминает формулу для бинома Ньютона, отличаясь от неё в правой части только порядками производных на месте степеней.

(more…)

Здравствуйте! Нижеследующее вам нужно освоить и сделать. Не обязательно все задания делать прямо сейчас, но к следующему занятию они должны быть доделаны все. Спрашивайте, если что непонятно.

(more…)