Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Первый замечательный предел выглядит так: \[ \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \]

(more…)

Сегодня будет второй замечательный предел в отдельных задачах. Нам в этом пригодится

Теорема 6. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

На самом деле, это собирательная формулировка для двух следующих ситуаций: если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится; и если она возрастает и ограничена сверху, она тоже сходится.

(more…)

Оказывается, что некоторые классы функций качественно «сильнее» других.

(more…)

Определение. Функцию, областью определения которой является множество $N$ натуральных чисел, называют последовательностью. Значения такой функции обозначают $x_{n}$ ($a_{n}$, $b_{n}$ и т. п.) и называют элементами последовательности, число $n$ называют номером элемента последовательности $x_{n}$.

(more…)

Второй замечательный предел записывается так: \[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e, \]

(more…)

Логично расширить идею разложения, которое использовалось при определении дифференциала: если у приращения функции можно выделить линейную часть по приращению аргумента, то почему нельзя выделить части, зависящие от приращения аргумента квадратично, кубично и так далее? Эта мысль воплощается в способе разложения функций, который называется формулой Тейлора. Согласно ей, вокруг точки $x_{0}$ \[ f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}+R, \] причём коэффициенты $a_{k}$ не зависят от $x$ и вычисляются по формуле \[ a_{k}=\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}; \] а $R$ называется остаточным членом и оценивается разными способами.

(more…)