Борис Павлович избавил нас от рассмотрения случая, когда $\alpha=\beta$, исключив его условиями задачи. Можно, однако, доказать, что в этом случае интеграл расходится.
Вид интеграл принимает такой:
\[ \int\limits _{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}\alpha x}{x}dx \]
Занесло меня с доказательством равномерной сходимости, исправляюсь.
Итак, мы рассматривали интеграл
\[
\int\limits _{0}^{1}x^{n-1}\ln^{m}xdx=\left(-1\right)^{m}\int\limits _{0}^{\infty}e^{-ny}y^{m}dy.
\]
Пусть $n>1$.
(more…)
Определить, сходится ли интеграл \[ \int\limits _{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}e^{-\alpha x}dx \] равномерно при $\alpha\geqslant0$.
Найти область сходимости интеграла \begin{equation} \int\limits _{0}^{\infty}\frac{x^{p-1}\ln x}{1+x}dx.\label{int} \end{equation} Я понял: надо было брать мажорирующую функцию прямо вместе с логарифмом.
Здравствуйте. Материал для освоения вот, я на связи жду вопросов. Д/з в честь прошедшей к/р не проверяется.
Найти объём тела, ограниченного поверхностями ($a,b,c > 0$): \[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1,\qquad\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. \]
Найти объём тела, ограниченного поверхностями: \[ z=x^{2}+y^{2},\quad y=x^{2},\quad y=1,\quad z=0. \]
Объём тела равен интегралу от единицы по этому телу: \[ V=\iiint\limits_{V}1\cdot dxdydz \]
Вводя обобщённые полярные координаты, найти площадь, ограниченную кривыми: \[ \frac{x^{3}}{a^{3}}+\frac{y^{3}}{b^{3}}=\frac{x^{2}}{h^{2}}+\frac{y^{2}}{k^{2}},\qquad x=0,\quad y=0. \]
Произведя соответствующую замену переменных, свести двойной интеграл \[ \iint\limits _{\left|x\right|+\left|y\right|\leqslant1}f\left(x+y\right)dxdy \] к однократному.
Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников