Представим данный ряд в виде
,
где
,
и докажем, что он сходится по признаку Дирихле. Обозначим частичные суммы второй последовательности так:
.
Заметим, что они периодичны. Во-первых,
Во-вторых, (во второй суме преобразуем
)
Осталось доказать, что
монотонно стремится к нулю. Для этого рассмотрим две функции:
и
. При 
явно 
. С другой стороны существует такое 
, что при 
функция 
убывает. Докажем это:
при
При
, все же остальные множители 
положительны. Значит, 
, следовательно,
- убывающая функция при
. Так как она убывает и ограничена снизу нулём, она является ограниченной функцией. на этом же интервале явно убывает и стремится к нулю. Следовательно,
, как произведение убывающих функций - монотонно убывает, а как произведение ограниченной функции на стремящуюся к нулю - стремится к нулю. Те же свойства наследует и аналогичная функция натурального аргумента: при 
убывает и стремится к нулю.
Вследствие доказанных свойств последовательностей
и 
ряд
условно сходится по признаку Дирихле, что и требовалось доказать.
