Демидович №4362 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

04.11.2011

Filed under: мат. ан. сем. 3 — Shine @ 12:00 дп

Вычислить поверхностный интеграл второго рода:

∬ (zdxdy+ ydxdz +xdydz), S

(1)

где $S$ – внешняя сторона сферы $2 2 2 2 x +y + z = a$ .

В сферических координатах уравнение поверхности запишется как $r = a$ , следовательно, декартовы координаты точек поверхности

(| { x = asinθcosφ |( y = asinθsinφ z = acosθ.

(2)

Для того, чтобы взять интеграл (1), его необходимо преобразовать к нижеследующему виду:

∬ ∬ -→-→ 2∫π ∫π -→ [ ] (zdxdy+ ydxdz + xdydz) = Fds = dφ dθF ⋅ -→r ′θ × -→r ′φ , S S 0 0

(3)

где $F = ⃗kz + ⃗jy+ ⃗ix$ . Учитывая (2), вычислим подынтегральное выражение:

-→F ⋅[-→r ′× -→r ′] = θ φ

( ) ( d ( ) d ( )) = ⃗kz + ⃗jy+ ⃗ix ⋅ - dφ- ⃗kz +⃗jy +⃗ix × dθ ⃗kz + ⃗jy+ ⃗ix =

( ) = - a⃗jsinφ sin θ+ a⃗icosφsinθ+ a⃗k cos θ ⋅

[ ] -d-( ⃗ ⃗ ⃗ ) d-( ⃗ ⃗ ⃗ ) ⋅ dφ ajsinφ sinθ + aicosφ sin θ+ akcosθ × dθ aj sinφ sin θ+ aicosφsinθ+ ak cosθ =

( ) = a⃗jsin φsin θ+ a⃗icosφsinθ+ a⃗k cosθ ⋅

( ) ⋅ a⃗ksinθ - a⃗j sinφ cosθ- a⃗icosφcosθ,a⃗isin φsinθ- a⃗jcosφ sin θ =

= a3sin2φ sin3θ+ a3 cos2φ sin3θ + a3sin2φ cos2 θsinθ + a3cos2 φcos2θsin θ =

= a3 sinθ.

Терерь вычислим сам интеграл (1) в виде (3):

∬ 2∫π ∫π ∫2π (zdxdy+ ydxdz + xdydz) = dφ dθa3sin θ = dφ2a3 = 4πa3. S 0 0 0

No comments yet.

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.