Демидович, № 449 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

02.10.2012

Filed under: мат. ан. сем. 1 — Shine @ 4:37 пп

Найти предел

√ ----- √------ --x-+2---3x-+-20 lxim→7 4√x-+-9- 2 .

Заметим, что

√----- √ ------ xli→m7 x + 2 = xli→m7 3 x+ 20 = 3,

и добавим и вычтем в числителе 3:

√----- √3------ √----- 3√------ √ ----- 3√ ------ lim -x-+√-2----x+-20-= lim -x-+-2-√-3+-3----x-+-20-= lim √-x+-2--3+ lim 3√----x+-20. x→7 4x + 9- 2 x→7 4 x+ 9- 2 x→7 4 x+ 9- 2 x→7 4x+ 9 - 2

(1)

Сначала вычислим предел, который понадобится потом неоднократно:

(4√ ----- ) lim √--x--7---= lim (x--7√)---x+-9-+-2-= 4 lim √--x--7---= x→7 4x +9 - 2 x→7 x+ 9 - 4 x→7 x+ 9 - 4

(√ ----- ) = 4 lim (x--7)--x+-9+-4--= 4 lim (√x--+9-+ 4) = 4⋅8 = 32. x→7 (x + 9)- 16 x→7

Теперь вычислим отдельно пределы из формулы (1):

$√ ----- √----- --x+-2---3 -------x-+-22 --32----- 1 --x---7--- 1 16 lix→m7 √4x-+-9-- 2 = xli→m7 (4√x-+-9- 2)(√x-+-2-+ 3) = 6 lxim→7 4√x-+-9- 2 = 6⋅32 = 3 .$
$3√------ 3 lim 34√---x-+-20= lim (4√--------)-3(---(x3√+-20)---√3------) = x→7 x+ 9- 2 x→7 x+ 9 - 2 9 + 3 x + 20+ x+ 202$

$-----1----- √-7---x--- 1- √-x---7--- 32 = 9+ 3⋅3 + 32 lxim→7 4x + 9- 2 = - 27 lxim→7 4x + 9- 2 = - 27.$