Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

28.02.2013

Демидович, № 55

Filed under: мат. ан. сем. 1 — Shine @ 6:56 пп

Чтобы добро не пропало — решил набить для будущих поколений.

Найти предел

( ) 1 3- -5 2n---1 nli→m∞ 2 + 22 + 23 + ...+ 2n .

Элемент последовательности можно выразить в виде

n a = ∑ 2k--1. n k=1 2k

Тогда

n 1 ∑ 2k--1- an = 2 + 2k = k=2

(заменим k = j + 1 )

( ) 1 n∑-12(j +-1)--1 1 1 n∑-1 2j---1- -2 1 1n∑-1 2j --1 n-∑ 11- = 2+ 2j+1 = 2+ 2 2j + 2j = 2+ 2 2j + 2j. j=1 j=1 j=1 j=1

Второе слагаемое пропорционально n- 1 -му элементу последовательности

n∑-1 1 2j-- 1-= 1 an-1. 2 j=1 2j 2

Последнее слагаемое – сумма геометрической прогрессии. Сумма геометрической прогрессии

∑n k-1 Sn = bq k=1

вычисляется по формуле

1--qn- Sn = b 1- q .

В данном случае

n-1 ∑ -1 = S , b = q = 1, j=12j n-1 2

и

n∑-1 1 11 - (12)n-1 1 2j = 2---1--1---= 1 - 2n-1. j=1 2

Следовательно,

3 1 1 an = 2 + 2an-1 - 2n--1,

an + (an - an-1) = 3--n1--2. 2

Вычислим теперь предел от обеих частей. Так как

lim -1-- = 0, n→ ∞ 2n-2

правая часть устремится к числу 3. Первое слагаемое левой части будет представлять собой искомый нами предел последовательности. Интереснее всего получается с разностью, взятой в скобки.

Если последовательность {an} имеет предел, она должна удовлетворять критерию Коши: для любого ε должно существовать такое N (ε) , что при любых m > N , p > 0

|am - am+p| < ε.

Рассмотрим частный случай. Пусть p = 1 , также мы переобозначим m = n - 1 , M = N + 1 . Тогда при n > N + 1 = M (ε) будет

|an-1 - an| = |0- (an - an- 1)| < ε,

что по определению предела означает, что

ln→im∞ (an - an-1) = 0.

Учитывая это, мы приходим к тому, что

lim an = 3. n→ ∞

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников