Филиппов №794 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

16.10.2013

Филиппов №794

Filed under: диф. уравнения — Shine @ 4:30 пп

Решить систему

{ ˙x = 2y− 3x, ˙y = y− 2x.

(1)

Выпишем матрицу этой системы:

( ) − 3 2 A = − 2 1 .

Не описывая подробно хорошо знакомый с первого курса процесс получения собственных значений и собственных векторов матриц, отметим, что у матрицы $A$ имеется одно собственное значение $λ = − 1$ кратности 2, и ему принадлежит один линейно независимый собственный вектор

( ) v = 1 . 1

Т.е. алгебраическая кратность $k = 2$ , а геометрическая $m = 1$ . Значит, следует искать решения системы (1), относящиеся к корню $λ = − 1$ (других решений у этой системы нет) в виде (на всякий случай: верхние индексы не означают степеней)

( ) ( ) ( ) P 1k− m(t) −t P11(t) −t at +b −t X = P 2k− m(t) e = P21(t) e = ct+ d e ,

(2)

или, в невекторном виде,

{ x = (at+ b)e−t, y = (ct+ d)e−t.

(3)

Подставим вышеприведённые функции в систему (1), сократим $e−t$ и получим

{ − at +b + a = 2ct− 3at+ 2d− 3b, − ct− d + c = ct− 2at+ d− 2b.

Так как эти равенства должны соблюдаться при любых значениях $t$ , должны быть равны коэффициенты при равных степенях левых и правых частей соответственно:

( ||{ − a = 2c− 3a, − c = c− 2a, ||( a− b = 2d − 3b, c− d = d − 2b.

Из первого и второго уравнений (они эквивалентны) следует, что $a = c$ , а из третьего и четвёртого - что $c = 2 (d − b)$ . Никаким образом уточнить оставшиеся два коэффициента при помощи этой системы невозможно. С учётом полученных связей между коэффициентами можно переписать (2) в виде