Пояснения для гр. 06-403 по методу Лагранжа « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

29.03.2015

Filed under: мат. ан. сем. 2,Решения — Shine @ 1:49 дп

За неимением времени я не доказывал формулу для квадрата суммы многих слагаемых

(∑n )2 ∑n n∑−1 ∑n ak = a2k + 2 apaq. k=1 k=1 p=1 q=p+1

(1)

Для тех, кому интересно, могу доказать.

Докажем методом мат.индукции. При $n = 2$ , как известно,

( )2 ∑2 2 2 2 ak = (a1 + a2) = a1 + 2a1a2 + a2. k=1

По формуле (1) получается

(∑2 )2 ∑2 ∑1 ∑2 ( ) ∑2 ak = a2k+2 apaq = a21 +a22 +2 a1aq = a21+a22+2a1a2, k=1 k=1 p=1q=p+1 q=2

т.е. формула (1) для $n = 2$ выполняется.

Теперь выполним шаг индукции. Пусть для $n = m$ формула (1) считается доказанной:

( m )2 m m −1 m ∑ a = ∑ a2+ 2 ∑ ∑ a a . k=1 k k=1 k p=1 q=p+1 p q

(2)

Докажем её при $n = m + 1$ , т.е. что

(m+∑1 )2 m∑+1 ∑m m∑+1 ak = a2k + 2 apaq. k=1 k=1 p=1q=p+1

(3)

Начнём преобразовывать левую часть (3):

( )2 ( )2 ( )2 m∑+1 m∑ ∑m ∑m 2 ak = ak + am+1 = ak + 2am+1 ak + am+1 = k=1 k=1 k=1 k=1

согласно формуле (2)

m m−1 m m = ∑ a2 + 2∑ ∑ apaq + 2am+1∑ ak + a2 = k=1 k p=1 q=p+1 k=1 m+1

объединим квадраты

m+∑1 2 m∑−1 ∑m ∑m = ak + 2 apaq + 2 am+1ak = k=1 p=1q=p+1 k=1

отсоединим от последней суммы последнее слагаемое и заменим переменную суммирования

m∑+1 m∑−1 ∑m m∑ −1 = a2k + 2 apaq + 2 am+1ap + 2am+1am = k=1 p=1 q=p+1 p=1

объединим суммы посередине, последнее слагаемое перепишем в виде двойной суммы из одного слагаемого (потом пригодится)

m+1 m−1 m+1 m m+1 ∑ 2 ∑ ∑ ∑ ∑ = ak + 2p=1q=p+1apaq +2 p=mq=m+1 apaq = k=1

суммы по соседствующим диапазонам чисел слипаются, и получается

m∑+1 ∑m m∑+1 = a2k + 2 apaq, k=1 p=1q=p+1

что совпадает с правой частью (3).

Шаг индукции сделан, формула доказана.

No comments yet.

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.