Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

В новой нумерации, вероятно, эта задача называется 2424 в)

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Исследовав функцию , обнаружим, что и при положительном она имеет один максимум, после чего начинает убывать. Она снова доходит до нуля при и дальше стремиться к . Точка максимума достигается при , и в ней . Нетрудно убедиться, что . В полярных координатах множество точек, у которых координата зависит от именно таким образом, образует такую кривую:

Вообще говоря, линии и ограничивают бесконечное множество замкнутых областей, в том числе, область III и остальные подобные ей. Мы найдём площадь области I. Эта область, заметим, образуется изъятием области II из сектора , поэтому

Найдём отдельно и , пользуясь тем, что оба являются криволинейными секторами. Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле

Участок кривой, ограничивающей сектор II, соединяет точки и , и меньшее значение соответствует точке . Поэтому

Дальше мы перейдём к переменной интегрирования пользуясь тем, что :

Участок кривой, ограничивающей сектор , соединяет точки и , меньшее значение соответствует точке , поэтому

Окончательно