Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Я задал группе 06-410 уравнения, решаемые методом Остроградского-Лиувилля, а примеров не показал. Показываю:

Решить уравнение

(1)

Нам потребуется угадать первое частное решение. Заметим, что если в уравнение подставить , то во втором и третьем слагаемом окажется в равных степенях. Чтобы первое слагаемое уничтожилось, попробуем подставить в уравнение (1)

и найти :

Как видно, последнее выполняется при всяком ; для простоты мы выберем частное решение для :

На занятии мы получили, что

где – это коэффициент при в уравнении, в котором коэффициент при равен единице. Разделив уравнение (1) на , получим его в нужном виде:

откуда становится видно, что

Тогда

(2)

где – произвольная константа. Заметим, что

и заменим в уравнении (2)

Проинтегрируем:

и отсюда найдём

и – произвольные константы. Мы ищем частное решение, независимое от , поэтому мы можем выбрать и . Тогда

Докажем независимость этих решений:

Получив два частных решения, общее запишем как обычно: