Демидович, № 2551 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

08.05.2016

Filed under: мат. ан. сем. 2,Решения — Shine @ 2:23 дп

Найти суммы рядов

∞∑ k а) Ss = q sin (αk ) k=1

∞∑ k б) Sc = q cos(αk) k=1

Я покажу, как это сделать без комплексных чисел.

Вначале докажем, что эти ряды сходятся.

Рассмотрим частичную сумму

| | || n∑ || ∑n | | ∑n | | ∑n || qksin(αk)||≤ |qksin(αk)| ≤ |qk||sin (αk )| ≤ |q|k = |k=p+1 | k=p+1 k=p+1 k=p+1

p+1 1− |q|n− p p+1 1 = |q| --1−-|q|--< |q| 1-−-|q|.

В то же время, при |q| < 1

lim |q|p+1 --1---= 0, p→∞ 1− |q|

т.е. для всякого ? > 0 найдётся такое , что при p > N

| | || p+1--1--- || p+1 --1--- ||q| 1 − |q| − 0| = |q| 1− |q| < ?.

Для любых и , бОльших чем , по доказанному выше,

| | ||∑n k || p+1--1--- || q sin(αk)||< |q| 1 − |q| < ?, |k=p+1 |

следовательно ряд сходится по критерию Коши. Сходимость ряда доказывается аналогично.

Теперь, будучи уверенными в существовании сумм рядов, начнём их искать.

Рассмотрим подробнее

∑∞ ∞∑ Ss = qk sin(αk) = qsin (α )+ qksin (αk ) = k=1 k=2

j = k − 1 k = j + 1

∞∑ ∞∑ = qsin (α )+ qj+1sin (αj + α) = qsin(α)+q qj[sin (αj)cosα+ sin αcos(αj)] = j=1 j=1

j = k

∞∑ k ∑∞ k = qsin (α )+q cosα q sin(αk)+q sin α q cos(αk) = qsin(α)+q cosαSs+q sinαSc. k=1 k=1

Аналогичные операции проделаем с

∑∞ ∞∑ Sc = qkcos(αk) = qcos(α )+ qkcos(αk) = k=1 k=2

∑∞ ∑∞ = qcos(α)+ qj+1cos(αj + α) = qcos(α)+ qj+1[cos(αj)cosα + sin(αj)sinα] = j=1 j=1

∞ ∞ = qcos(α)+qcosα ∑ qkcos(αk)+qsinα ∑ qksin(αk) = qcos(α)+qcosαSc+q sin αSs. k=1 k=1

Итак, мы пришли к системе

{ Ss = q sin(α)+ q cosαSs + qsinαSc, Sc = q cos(α) +q cos αSc + qsinαSs;

каковую будем дальше решать.

{ (qcosα − 1)Ss + qsin αSc = − qsin (α ) qsin αSs + (qcosα − 1)Sc = − qcos(α)

Sc = − 1 − qcosα-−-1Ss qsin α

( qcosα-−-1 ) qsinαSs +(qcosα − 1) − 1− qsin α Ss = − q cos(α )

(qcosα−-1)2 q sinαSs − qcosα +1 − qsin α Ss = − qcos(α)

2 2 2 1+ q--sin-α-−-(q-cosα-−-1)-Ss = 0 qsin α

qsin α Ss = −-2---2--------------2. q sin α − (qcosα − 1)

Подставив найденное, определим

S = − 1− qcosα-−-1S = − 1+ ------qcosα-−-1------= c qsin α s q2sin2α − (q cosα − 1)2

2 2 2 2 2 2 2 = qcosα-−-1−-q-sin--α+-(qcosα2-−-1)--= qcosα-−-1−-q-sin--α+-q-cos-α-−22q-cosα+-1-= q2 sin2α − (q cosα − 1) q2 sin2α − (q cos α− 1)

2 = ---q-cos2α-− q-cos-α--. q2sin2α − (qcosα − 1)2

No comments yet.

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.