Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Давно обещал решение этого номера.

Вначале докажем утверждение из №7, но в более строгом варианте. Пусть $x>-1$, $x\neq0$ и $n>1$. Тогда $$\begin{equation} \left(1+x\right)^{n}>1+nx.\label{eq:n7} \end{equation}$$ Вначале проверим это утверждение для минимального натурального $n$, большего единицы: $n=2$. Если $x\neq0$, то $x^{2}>0$ и $$\left(1+x\right)^{2}=1+2x+x^{2}>1+2x;$$ неравенство ($\ref{eq:n7}$) выполняется. Положим теперь, что при $n=k$ верно $$\begin{equation} \left(1+x\right)^{k}>1+kx.\label{eq:k7} \end{equation}$$ Исходя из этого докажем, что $$\left(1+x\right)^{k+1}>1+\left(k+1\right)x.$$ Так как $x^{2}>0$, то при натуральных (а значит, и положительных) $k$ и $kx^{2}>0$. Зная это, умножим обе части считающегося верным неравенства ($\ref{eq:k7}$) на $\left(1+x\right)$: $$\left(1+x\right)^{k}\left(1+x\right)>\left(1+kx\right)\left(1+x\right),$$ откуда $$\left(1+x\right)^{k+1}>\left(1+kx\right)\left(1+x\right).$$ Но $$\left(1+kx\right)\left(1+x\right)=1+kx+x+kx^{2}=1+\left(k+1\right)x+kx^{2}>1+\left(k+1\right)x.$$ Итак, $$\left(1+x\right)^{k+1}>\left(1+kx\right)\left(1+x\right)>1+\left(k+1\right)x,$$ что и требовалось доказать.
Используя это важное утверждение, докажем основное неравенство: при $n\geqslant3$ $$n^{n+1}>\left(n+1\right)^{n}.$$ Начнём, как обычно, с наименьшего возможного значения $n$. Сравним для $n=3$: $$3^{3+1}\vee\left(3+1\right)^{3},$$ $$3^{4}\vee4^{3},$$ $$81\vee64,$$ $$81>64,$$ т.е., как и требовалось, $$3^{3+1}>\left(3+1\right)^{3}.$$ Теперь докажем, что из верности при $n=k$ неравенства $$k^{k+1}>\left(k+1\right)^{k}$$ следует, при $n=k+1$, верность неравенства $$\left(k+1\right)^{k+2}>\left(k+2\right)^{k+1}.$$ Заметим, что так как при натуральных $k$ имеет место $-1<-\frac{1}{k+2}\neq0$, выполняются условия неравенства ($\ref{eq:n7}$), а следовательно $$\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{k}=\left(1-\frac{1}{k+2}\right)^{k}>1-\frac{k}{k+2}=\frac{k+2}{k+2}-\frac{k}{k+2}=\frac{2}{k+2},$$ или, сокращённо, $$\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{k}>\frac{2}{k+2}.$$ Тогда, умножая обе части этого неравенства на $\left(k+2\right)^{k}$, получим $$\begin{equation} \left(k+1\right)^{k}>2\left(k+2\right)^{k-1}.\label{eq:st1} \end{equation}$$ С другой стороны, $$2\frac{\left(k+1\right)^{2}}{\left(k+2\right)^{2}}=2\left(1-\frac{1}{k+2}\right)^{2}>2\left(1-\frac{2}{k+2}\right).$$ Нетрудно видеть, что выражение в правой части возрастает вместе с $k$, но уже при $k=3$ $$2\left(1-\frac{2}{k+2}\right)=2\left(1-\frac{2}{5}\right)=\frac{6}{5}>1,$$ и значит, при $k\geqslant3$ $$\begin{equation} 2\frac{\left(k+1\right)^{2}}{\left(k+2\right)^{2}}>2\left(1-\frac{2}{k+2}\right)>1.\label{eq:st2} \end{equation}$$ Используя сначала неравенство ($\ref{eq:st1}$), затем неравенство ($\ref{eq:st2}$), получим $$\left(k+1\right)^{k+2}=\left(k+1\right)^{k}\left(k+1\right)^{2}>2\left(k+2\right)^{k-1}\left(k+1\right)^{2}=2\frac{\left(k+1\right)^{2}}{\left(k+2\right)^{2}}\left(k+2\right)^{k+1}>\left(k+2\right)^{k+1},$$ т.е. $$\left(k+1\right)^{k+2}>\left(k+2\right)^{k+1},$$ что и требовалось доказать для шага индукции.