Я буду использовать два свойства: очевидное, что q\leqslant\left|q\right| – и менее очевидное, но тоже известное и часто используемое, что \left|q\right| < p если и только если -p < q < p.
Рассмотрим два случая. Для начала, пусть \left|b\right|>\left|a\right|. Тогда -\left|b\right| < a < \left|b\right|. Вспомнив (\ref{eq:start}), запишем, что -\left|b\right| < a < x < b\leqslant\left|b\right|, а сократив цепочку неравенств – что -\left|b\right| < x < \left|b\right|, или \left|x\right|<\left|b\right|=\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right). Если теперь \left|b\right| < \left|a\right|, то -\left|a\right| < b < \left|a\right|, с учётом (\ref{eq:start}) -\left|a\right|\leqslant a < x < b < \left|a\right|, сокращая -\left|a\right| < x < \left|a\right|, т.е. \left|x\right|<\left|a\right|=\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right). Осталось рассмотреть, случай, когда \left|b\right|=\left|a\right|. Тогда a=\pm b, однако в силу неравенства (\ref{eq:start}) вариант a=b отпадает, остаётся a=-b, причём a < 0 < b. -b < x < b, \left|x\right| < b. Но в этом случае тоже можно утверждать, что \max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right)=\left|b\right|=b, а значит, снова \left|x\right|<\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right), что и требовалось доказать.
Был и другой пробел. Известно, что \left|a+b\right|\leqslant\left|a\right|+\left|b\right|. Но тов. Султонов утверждал, что \begin{equation} \left|a-b\right|\leqslant\left|a\right|-\left|b\right|.\label{eq:slt} \end{equation} Я выражал сомнения, но контрпримеров не привёл. Привожу сейчас: пусть a=3, а b=7. Тогда \left|a-b\right|=\left|3-7\right|=\left|-4\right|=4, \left|a\right|-\left|b\right|=\left|3\right|-\left|7\right|=3-7=-4, и в этом случае \left|a-b\right|>\left|a\right|-\left|b\right|. Неравенство (\ref{eq:slt}), таким образом, в общем случае неверно.
