Я буду использовать два свойства: очевидное, что $q\leqslant\left|q\right|$ – и менее очевидное, но тоже известное и часто используемое, что $\left|q\right| < p$ если и только если $-p < q < p$.
Рассмотрим два случая. Для начала, пусть $\left|b\right|>\left|a\right|$. Тогда \[ -\left|b\right| < a < \left|b\right|. \] Вспомнив (\ref{eq:start}), запишем, что \[ -\left|b\right| < a < x < b\leqslant\left|b\right|, \] а сократив цепочку неравенств – что \[ -\left|b\right| < x < \left|b\right|, \] или \[ \left|x\right|<\left|b\right|=\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right). \] Если теперь $\left|b\right| < \left|a\right|$, то \[ -\left|a\right| < b < \left|a\right|, \] с учётом (\ref{eq:start}) \[ -\left|a\right|\leqslant a < x < b < \left|a\right|, \] сокращая \[ -\left|a\right| < x < \left|a\right|, \] т.е. \[ \left|x\right|<\left|a\right|=\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right). \] Осталось рассмотреть, случай, когда $\left|b\right|=\left|a\right|$. Тогда $a=\pm b$, однако в силу неравенства (\ref{eq:start}) вариант $a=b$ отпадает, остаётся $a=-b$, причём $a < 0 < b$. \[ -b < x < b, \] \[ \left|x\right| < b. \] Но в этом случае тоже можно утверждать, что $\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right)=\left|b\right|=b$, а значит, снова \[ \left|x\right|<\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right), \] что и требовалось доказать.
Был и другой пробел. Известно, что $\left|a+b\right|\leqslant\left|a\right|+\left|b\right|$. Но тов. Султонов утверждал, что \begin{equation} \left|a-b\right|\leqslant\left|a\right|-\left|b\right|.\label{eq:slt} \end{equation} Я выражал сомнения, но контрпримеров не привёл. Привожу сейчас: пусть $a=3$, а $b=7$. Тогда $$\left|a-b\right|=\left|3-7\right|=\left|-4\right|=4,$$ $$\left|a\right|-\left|b\right|=\left|3\right|-\left|7\right|=3-7=-4,$$ и в этом случае $$\left|a-b\right|>\left|a\right|-\left|b\right|.$$ Неравенство (\ref{eq:slt}), таким образом, в общем случае неверно.
