Я буду использовать два свойства: очевидное, что q⩽|q| – и менее очевидное, но тоже известное и часто используемое, что |q|<p если и только если −p<q<p.
Рассмотрим два случая. Для начала, пусть |b|>|a|. Тогда −|b|<a<|b|. Вспомнив (1), запишем, что −|b|<a<x<b⩽|b|, а сократив цепочку неравенств – что −|b|<x<|b|, или |x|<|b|=max(|a|,|b|). Если теперь |b|<|a|, то −|a|<b<|a|, с учётом (1) −|a|⩽a<x<b<|a|, сокращая −|a|<x<|a|, т.е. |x|<|a|=max(|a|,|b|). Осталось рассмотреть, случай, когда |b|=|a|. Тогда a=±b, однако в силу неравенства (1) вариант a=b отпадает, остаётся a=−b, причём a<0<b. −b<x<b, |x|<b. Но в этом случае тоже можно утверждать, что max(|a|,|b|)=|b|=b, а значит, снова |x|<max(|a|,|b|), что и требовалось доказать.
Был и другой пробел. Известно, что |a+b|⩽|a|+|b|. Но тов. Султонов утверждал, что |a−b|⩽|a|−|b|. Я выражал сомнения, но контрпримеров не привёл. Привожу сейчас: пусть a=3, а b=7. Тогда |a−b|=|3−7|=|−4|=4, |a|−|b|=|3|−|7|=3−7=−4, и в этом случае |a−b|>|a|−|b|. Неравенство (2), таким образом, в общем случае неверно.
