Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

15.11.2016

Альтернативное решение задачи 3988

Filed under: мат. ан. сем. 3,Решения — Shine @ 5:09 пп
  Я уже выкладывал решение этой задачи тут, и будет полезно сначала прочитать то решение – тут процесс описывается с середины. В старом решении площадь была сведена к интегралу с шестыми степенями в знаменателе, а его взятие, невоспроизводимое за разумное время, было совершенно опущено. В этой заметке описывается решение этой задачи без трудовых подвигов.

  Напомню, что после перехода к полярным координатам уравнение (x3+y3)2=x2+y2 свелось к уравнению R6(cos3φ+sin3φ)2=R2, откуда R2=1cos3φ+sin3φ.   Площадь фигуры, ограниченной уравнением (1), и находящейся в первой четверти, S=Ω1dxdy=π/20dφR0drr=π/20R22dφ=12π/20dφcos3φ+sin3φ= =12π/20dφ(cosφ+sinφ)(cos2φcosφsinφ+sin2φ)=12π/20dφ(cosφ+sinφ)(1cosφsinφ).   Самое сложное теперь - это выбрать замену. Если заменять одним из способов, перечисленных в задачнике Демидовича после №2024, то годится только самый неудобный. Но если удобных способов нет – значит, их надо создать.
  Заменим φ=ψ+π4; ψ=φπ4. Тогда cosφ+sinφ=cos(ψ+π4)+sin(ψ+π4)=cos(ψ+π4)+cos(π2ψπ4)= =cos(ψ+π4)+cos(ψπ4)=2cosψcosπ4=2cosψ; sinφcosφ=sin(ψ+π4)cos(ψ+π4)=12sin(2ψ+π2)=12cos(2ψ). Заменим вышевычисленное в интеграле для площади: S=12π/20dφ(cosφ+sinφ)(1cosφsinφ)=12π/4π/4dψcosψ(2cos(2ψ))=12π/4π/4(sinψ)dψcos2ψ(2cos(2ψ))= ещё одна замена: sinψ=t =12π/4π/4(sinψ)dψ(1sin2ψ)(1+2sin2ψ)=121/21/2dt(1t2)(1+2t2).   Под интегралом получилась рациональная функция, которую мы разложим на элементарные слагаемые (процесс нахождения A и B я, с вашего позволения, пропущу): 1(1t2)(1+2t2)=A1t2+B1+2t2=1311t2+2311+2t2; и тогда S=121/21/2dt(1t2)(1+2t2)=121/21/2(1311t2+2311+2t2)dt=(162ln|1+t1t|+13arctg(2t))|1/21/2= =162ln(3+22)+π6, что совпадает с результатом, полученным раньше.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников