Переходя к полярным координатам, найти объемы тел, ограниченных следующими
поверхностями:
z2=xy,x2+y2=a2.
Как смог, я нарендерил эту фигуру в геогебре. Тут синим цветом показана цилиндрическая поверхность, серо-розовым — z1, жёлтым — z2. Нужная нам фигура лежит в первой четверти.
z1=√xy,z2=−√xy
V=∬
Полярные координаты связаны с декартовыми, как обычно
\left\{ \begin{array}{l}
x=r\cos\varphi,\\
y=r\sin\varphi;
\end{array}\right.
их якобиан вычислялся ранее на занятиях
\left|J\right|=r.
Переходя к ним, получим
V=\intop_{0}^{\pi/2}d\varphi\intop_{0}^{a}dr\sqrt{r\cos\varphi r\sin\varphi}r=\intop_{0}^{\pi/2}d\varphi\sqrt{\cos\varphi\sin\varphi}\intop_{0}^{a}drr^{2}=\frac{a^{3}}{3}\intop_{0}^{\pi/2}\sqrt{\cos\varphi\sin\varphi}d\varphi.
Заменим \sin^{2}\varphi=t
V=\frac{a^{3}}{3}\intop_{0}^{\pi/2}\sqrt{\cos\varphi\sin\varphi}d\varphi=\frac{a^{3}}{3}\intop_{0}^{\pi/2}\cos^{-1/2}\varphi\sin^{-1/2}\varphi\cos\varphi\sin\varphi d\varphi=\frac{a^{3}}{6}\intop_{0}^{\pi/2}\left(\sin^{2}\varphi\right)^{-1/4}\left(\cos^{2}\varphi\right)^{-1/4}\left(\sin^{2}\varphi\right)'d\varphi=
=\frac{a^{3}}{6}\intop_{0}^{1}t^{-1/4}\left(1-t\right)^{-1/4}dt=\frac{a^{3}}{6}\intop_{0}^{1}t^{3/4-1}\left(1-t\right)^{3/4-1}dt=\frac{a^{3}}{6}B\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right)=
(здесь B\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right) — это интеграл Эйлера 1-го рода)
=\frac{a^{3}}{6}\frac{\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{6}{4}\right)}=\frac{a^{3}\Gamma^{2}\left(\frac{3}{4}\right)}{3\sqrt{\pi}}.
В более простом виде ответ не представляется.
