Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Пусть $$\left\{ \begin{array}{c} x=\varphi\left(t\right),\\ y=\psi\left(t\right), \end{array}\right.$$ причём $$\varphi\left(t_{1}\right)=a,\qquad\varphi\left(t_{2}\right)=b.$$ Тогда $$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'\left(t\right)}{\varphi'\left(t\right)}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}},\qquad dx=\dot{x}dt.$$ Произведём в уже известном интеграле для длины кривой (1) переход от переменной $x$ к переменной $t$: $$\begin{equation} L=\intop_{a}^{b}\sqrt{1+\left(y'\right)^{2}}dx=\intop_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{1+\left(\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\right)^{2}}\dot{x}dt=\intop_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{\left(\dot{x}\right)^{2}+\left(\dot{y}\right)^{2}}dt.\label{Lt} \end{equation}$$ Эта формула допускает обобщение и на случаи, когда у кривой имеются точеки с совпадающим значением абсциссы. Пример: №2440

Рис. 2

Найти длину астроиды (см. рис. 2) $$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$ Зададим координаты параметрически так: $$\left\{ \begin{array}{c} x=a\cos^{3}t,\\ y=a\sin^{3}t. \end{array}\right.$$ Эти координаты удовлетворяют исходному уравнению: $$\left(a\cos^{3}t\right)^{2/3}+\left(a\sin^{3}t\right)^{2/3}=a^{2/3}\left[\left(\cos^{3}t\right)^{2/3}+\left(\sin^{3}t\right)^{2/3}\right]=a^{2/3}\left[\left(\cos t\right)^{2}+\left(\sin t\right)^{2}\right]=a^{2/3}.$$ Пределы интегрирования не даны в задаче и их придётся находить самостоятельно. Пусть $t$ — некое начальное значение параметра. Найдём, какую величину $T$ следует добавить к нему, чтобы вернуться в исходную точку: $$\left\{ \begin{array}{c} a\cos^{3}\left(t+T\right)=a\cos^{3}t,\\ a\sin^{3}\left(t+T\right)=a\sin^{3}t; \end{array}\right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} \cos\left(t+T\right)-\cos t=0,\\ \sin\left(t+T\right)-\sin t=0; \end{array}\right.$$ $$\left\{ \begin{array}{c} -2\sin\frac{2t+T}{2}\sin\frac{T}{2}=0,\\ 2\cos\frac{2t+T}{2}\sin\frac{T}{2}=0. \end{array}\right.$$ Из первого уравнения следуют два случая. Первый: $$\sin\frac{T}{2}=0,\;\Rightarrow\;\frac{T}{2}=\pi n,\;\Rightarrow\;T=2\pi n.$$ Так как нам нужно обойти кривую однажды, оставляем наименьший период для $n=1$: $$T=2\pi.$$ Во втором случае $$\sin\frac{2t+T}{2}=0,\;\Rightarrow\;\frac{2t+T}{2}=\pi n,\;\Rightarrow\;\cos\frac{2t+T}{2}=\cos\pi n=\left(-1\right)^{n}\neq0$$ и решений не остаётся. Выбрав для удобства $t=0$, получим область интегрирования $\left[0;2\pi\right]$. Применим формулу ($\ref{Lt}$): $$\left\{ \begin{array}{c} \dot{x}=-3a\cos^{2}t\sin t,\\ \dot{y}=3a\sin^{2}t\cos t, \end{array}\right.$$ $$L=\intop_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(\dot{x}\right)^{2}+\left(\dot{y}\right)^{2}}dt=\intop_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(3a\cos^{2}t\sin t\right)^{2}+\left(3a\sin^{2}t\cos t\right)^{2}}dt=$$ $$=3a\intop_{0}^{2\pi}\left|\cos t\sin t\right|\sqrt{\left(\cos t\right)^{2}+\left(\sin t\right)^{2}}dt=3a\intop_{0}^{2\pi}\left|\cos t\sin t\right|dt=$$ $$=3a\left(\intop_{0}^{\pi/2}\left|\cos t\sin t\right|dt+\intop_{\pi/2}^{\pi}\left|\cos t\sin t\right|dt+\intop_{\pi}^{3\pi/2}\left|\cos t\sin t\right|dt+\intop_{3\pi/2}^{2\pi}\left|\cos t\sin t\right|dt\right)=$$ $$=3a\left(\intop_{0}^{\pi/2}\cos t\sin tdt-\intop_{\pi/2}^{\pi}\cos t\sin tdt+\intop_{\pi}^{3\pi/2}\cos t\sin tdt-\intop_{3\pi/2}^{2\pi}\cos t\sin tdt\right)=3a\left(I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4}\right).$$ Вычислим первый из этих интегралов: $$I_{1}=\intop_{0}^{\pi/2}\cos t\sin tdt=\frac{1}{2}\intop_{0}^{\pi/2}\sin2tdt=-\left.\frac{1}{4}\cos2t\right|_{0}^{\pi/2}=\frac{1}{2}.$$ Докажем, что второй равен первому. Для этого заменим $s=t-\frac{\pi}{2}$ $t=s+\frac{\pi}{2}$: $$I_{2}=-\intop_{\pi/2}^{\pi}\cos t\sin t\,dt=-\intop_{0}^{\pi/2}\cos\left(s+\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(s+\frac{\pi}{2}\right)\,ds=-\intop_{0}^{\pi/2}\sin\left(-s\right)\cos\left(-s\right)\,ds=I_{1}=\frac{1}{2}.$$ Аналогично, $$I_{3}=I_{4}=I_{1}=\frac{1}{2},$$ и таким образом, $$L=3a\left(I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4}\right)=3a\left(4\cdot\frac{1}{2}\right)=6a.$$ Решить самостоятельно: №2442, 2443.