Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Заменить $y\left(x\right)$ на $u\left(t\right)$ в уравнении \begin{equation} \left(1-x^{2}\right)^{2}y''=-y,\label{ur1} \end{equation} если \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x=\mathrm{th}\,t,\\ y=\frac{u}{\mathrm{ch}\,t}. \end{array}\right.\label{zam} \end{equation}

Для краткости будем пользоваться обозначениями \[ y'\equiv\frac{dy}{dx},\qquad u'\equiv\frac{du}{dt}. \] Продифференцируем по $t$ оба уравнения из (\ref{zam}): \begin{equation} \frac{dx}{dt}=\frac{1}{\mathrm{ch}^{2}\,t},\label{xt} \end{equation} \[ \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{u'}{\mathrm{ch}\,t}-\frac{u}{\mathrm{ch}^{2}\,t}\mathrm{sh}\,t. \] С учётом (\ref{xt}), \[ y'=\mathrm{ch}^{2}\,t\left(\frac{u'}{\mathrm{ch}\,t}-\frac{u}{\mathrm{ch}^{2}\,t}\mathrm{sh}\,t\right)=u'\mathrm{ch}\,t-u\mathrm{sh}\,t. \] Эту формулу снова продифференцируем по $t$: \[ \frac{dy'}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(u'\mathrm{ch}\,t-u\mathrm{sh}\,t\right)=u''\mathrm{ch}\,t+u'\mathrm{sh}\,t-u'\mathrm{sh}\,t-u\mathrm{ch}\,t=\left(u''-u\right)\mathrm{ch}\,t, \] \[ y''=\left(u''-u\right)\mathrm{ch}^{3}\,t. \] Полученную вторую производную, вместе с (\ref{zam}), подставим в (\ref{ur1}): \[ \left(1-\mathrm{th}^{2}\,t\right)^{2}\left(u''-u\right)\mathrm{ch}^{3}\,t=-\frac{u}{\mathrm{ch}\,t}. \] Из <<основного гиперболического тождества>> следует, что \[ 1-\mathrm{th}^{2}\,t=\frac{1}{\mathrm{ch}^{2}\,t}, \] воспользовавшись чем, упростим \[ \frac{1}{\mathrm{ch}\,t}\left(u''-u\right)=-\frac{u}{\mathrm{ch}\,t}, \] \[ u''-u=-u, \] \[ \boxed{u''=0.} \]