Обещал гр. 661, но и гр. 612 будет не вредно посмотреть — это доказательство аккуратнее того, что приводилось на паре.
Рассмотреть сходимость ряда 1+12+13−14−15−16+17+18+19−…Докажем, что ряд сходится. Рассмотрим сумму шести подряд идущих слагаемых, сгруппировав попарно положительные и отрицательные: 6k+6∑n=6k+1an=16k+1+16k+2+16k+3−16k+4−16k+5−16k+6= =16k+1−16k+4+16k+2−16k+5+16k+3−16k+6= =3(6k+1)(6k+4)+3(6k+2)(6k+5)+3(6k+3)(6k+6). В таком виде нетрудно заметить, чем ограничена эта сумма: 0<6k+6∑n=6k+1an<9(6k+1)(6k+4). Теперь рассмотрим частичную сумму ряда (1) с количеством слагаемых, кратным шести, и разобъём эту сумму на группы по шесть слагаемых. Пользуясь полученным выше неравенством, мы сможем оценить эту сумму: S6m=6m∑n=1an=m−1∑k=06k+6∑p=6k+1ap<m−1∑k=09(6k+1)(6k+4). Про правую часть этого неравенства можно сказать следующее. Известно, что сходится ряд ∞∑k=11k2. По второму признаку сравнения отсюда следует, что сходится и ряд ∞∑k=09(6k+1)(6k+4), так как lim Поскольку ряд (\ref{r2}) сходится, ограничена его последовательность частичных сумм, т.е. существует такое достаточно большое M, что при любом m \sum_{k=0}^{m-1}\frac{9}{\left(6k+1\right)\left(6k+4\right)} < M, откуда, с учётом (\ref{neq1}), и S_{6m} < M. С другой стороны, в силу (\ref{neq0}), S_{6\left(m+1\right)}=S_{6m}+\sum_{n=6m+1}^{6m+6}a_{n}>S_{6m}, т.е. S_{6m} возрастает. Так как последовательность некоторых частичных сумм возрастает и ограничена сверху, \exists\lim_{m\to\infty}S_{6m}. Рассмотрим теперь произвольную последовательность частичных сумм S_{n}: \begin{equation} S_{n}=S_{6m+p}=S_{6m}+\sum_{n=6m+1}^{6m+p}a_{n},\label{eq1} \end{equation} где p=1..6. Оценим остаток. \sum_{n=6m+1}^{6m+p}a_{n}>0, так как в этой сумме положительные слагаемые идут до отрицательных, и \sum_{n=6m+1}^{6m+p}a_{n}<\frac{1}{6m+1}+\frac{1}{6m+2}+\frac{1}{6m+3}\leqslant\frac{3}{6m}=\frac{1}{2m}. Из (\ref{eq1}) S_{n}-S_{6m}=\sum_{n=6m+1}^{6m+p}a_{n}, 0 < S_{n}-S_{6m}\leqslant\frac{1}{2m}, S_{6m} < S_{n}\leqslant S_{6m}+\frac{1}{2m}. Левая и правая части тут имеют общие пределы: \lim_{m\to\infty}S_{6m}=\lim_{m\to\infty}S_{6m}+\frac{1}{2m}. Если теперь составить последовательности b_{n}=S_{6m} и c_{n}=S_{6m}+\frac{1}{2m}, где m – целая часть числа \frac{n}{6}, то будет верно, что \lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n} и b_{n} < S_{n}\leqslant c_{n}, откуда по теореме о двух милиционерах, \exists\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}. Так как \exists\underset{n\to\infty}{\lim}S_{n}, ряд (\ref{r1}) сходится.