Обещал гр. 661, но и гр. 612 будет не вредно посмотреть — это доказательство аккуратнее того, что приводилось на паре.
Рассмотреть сходимость ряда 1+12+13−14−15−16+17+18+19−…Докажем, что ряд сходится. Рассмотрим сумму шести подряд идущих слагаемых, сгруппировав попарно положительные и отрицательные: 6k+6∑n=6k+1an=16k+1+16k+2+16k+3−16k+4−16k+5−16k+6= =16k+1−16k+4+16k+2−16k+5+16k+3−16k+6= =3(6k+1)(6k+4)+3(6k+2)(6k+5)+3(6k+3)(6k+6). В таком виде нетрудно заметить, чем ограничена эта сумма: 0<6k+6∑n=6k+1an<9(6k+1)(6k+4). Теперь рассмотрим частичную сумму ряда (1) с количеством слагаемых, кратным шести, и разобъём эту сумму на группы по шесть слагаемых. Пользуясь полученным выше неравенством, мы сможем оценить эту сумму: S6m=6m∑n=1an=m−1∑k=06k+6∑p=6k+1ap<m−1∑k=09(6k+1)(6k+4). Про правую часть этого неравенства можно сказать следующее. Известно, что сходится ряд ∞∑k=11k2. По второму признаку сравнения отсюда следует, что сходится и ряд ∞∑k=09(6k+1)(6k+4), так как limk→∞9(6k+1)(6k+4)1k2=limk→∞9k2(6k+1)(6k+4)=limk→∞9(6+1k)(6+4k)=936=14≠0. Поскольку ряд (4) сходится, ограничена его последовательность частичных сумм, т.е. существует такое достаточно большое M, что при любом m m−1∑k=09(6k+1)(6k+4)<M, откуда, с учётом (3), и S6m<M. С другой стороны, в силу (2), S6(m+1)=S6m+6m+6∑n=6m+1an>S6m, т.е. S6m возрастает. Так как последовательность некоторых частичных сумм возрастает и ограничена сверху, ∃limm→∞S6m. Рассмотрим теперь произвольную последовательность частичных сумм Sn: Sn=S6m+p=S6m+6m+p∑n=6m+1an, где p=1..6. Оценим остаток. 6m+p∑n=6m+1an>0, так как в этой сумме положительные слагаемые идут до отрицательных, и 6m+p∑n=6m+1an<16m+1+16m+2+16m+3⩽36m=12m. Из (5) Sn−S6m=6m+p∑n=6m+1an, 0<Sn−S6m⩽12m, S6m<Sn⩽S6m+12m. Левая и правая части тут имеют общие пределы: limm→∞S6m=limm→∞S6m+12m. Если теперь составить последовательности bn=S6m и cn=S6m+12m, где m – целая часть числа n6, то будет верно, что limn→∞bn=limn→∞cn и bn<Sn⩽cn, откуда по теореме о двух милиционерах, ∃limn→∞Sn=limn→∞bn=limn→∞cn. Так как ∃limn→∞Sn, ряд (1) сходится.