Processing math: 100%

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

29.04.2017

Демидович, № 2666

Filed under: мат. ан. сем. 2,Решения — Shine @ 1:21 пп

Обещал гр. 661, но и гр. 612 будет не вредно посмотреть — это доказательство аккуратнее того, что приводилось на паре.

Рассмотреть сходимость ряда 1+12+13141516+17+18+19

Докажем, что ряд сходится. Рассмотрим сумму шести подряд идущих слагаемых, сгруппировав попарно положительные и отрицательные: 6k+6n=6k+1an=16k+1+16k+2+16k+316k+416k+516k+6= =16k+116k+4+16k+216k+5+16k+316k+6= =3(6k+1)(6k+4)+3(6k+2)(6k+5)+3(6k+3)(6k+6). В таком виде нетрудно заметить, чем ограничена эта сумма: 0<6k+6n=6k+1an<9(6k+1)(6k+4). Теперь рассмотрим частичную сумму ряда (1) с количеством слагаемых, кратным шести, и разобъём эту сумму на группы по шесть слагаемых. Пользуясь полученным выше неравенством, мы сможем оценить эту сумму: S6m=6mn=1an=m1k=06k+6p=6k+1ap<m1k=09(6k+1)(6k+4). Про правую часть этого неравенства можно сказать следующее. Известно, что сходится ряд k=11k2. По второму признаку сравнения отсюда следует, что сходится и ряд k=09(6k+1)(6k+4), так как limk9(6k+1)(6k+4)1k2=limk9k2(6k+1)(6k+4)=limk9(6+1k)(6+4k)=936=140. Поскольку ряд (4) сходится, ограничена его последовательность частичных сумм, т.е. существует такое достаточно большое M, что при любом m m1k=09(6k+1)(6k+4)<M, откуда, с учётом (3), и S6m<M. С другой стороны, в силу (2), S6(m+1)=S6m+6m+6n=6m+1an>S6m, т.е. S6m возрастает. Так как последовательность некоторых частичных сумм возрастает и ограничена сверху, limmS6m. Рассмотрим теперь произвольную последовательность частичных сумм Sn: Sn=S6m+p=S6m+6m+pn=6m+1an, где p=1..6. Оценим остаток. 6m+pn=6m+1an>0, так как в этой сумме положительные слагаемые идут до отрицательных, и 6m+pn=6m+1an<16m+1+16m+2+16m+336m=12m. Из (5) SnS6m=6m+pn=6m+1an, 0<SnS6m12m, S6m<SnS6m+12m. Левая и правая части тут имеют общие пределы: limmS6m=limmS6m+12m. Если теперь составить последовательности bn=S6m и cn=S6m+12m, где m – целая часть числа n6, то будет верно, что limnbn=limncn и bn<Sncn, откуда по теореме о двух милиционерах, limnSn=limnbn=limncn. Так как limnSn, ряд (1) сходится.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников