1) разложим интеграл по двум интервалам:
∞∫0e−αxxsinxdx=1∫0e−αxxsinxdx+∞∫1e−αxxsinxdx.
В первом слагаемом выполним замену x=1y
1∫0e−αxxsinxdx=1∫∞e−αy1ysin1y(−1y2)dy=∞∫1e−αyysin1ydy.
Докажем, что оно равномерно сходится по признаку Вейерштрасса.
2) Заметим, что
e^{-\alpha x}\sin x=\left[-\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\right]_{x}^{‘}.
Докажем, что при x>0
\left|\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\right|<2.
Разложим второе слагаемое из (\ref{eq:razl}) почти по частям:
\begin{equation}
\intop_{1}^{\infty}\frac{e^{-\alpha x}}{x}\sin xdx=-\intop_{1}^{\infty}\left[\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\right]^{'}\frac{1}{x}dx=-\intop_{1}^{\infty}\left[\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{x}\right]^{'}dx+\intop_{1}^{\infty}\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\left[\frac{1}{x}\right]^{'}dx\label{razl2}
\end{equation}
Второе слагаемое равномерно сходится по Вейерштрассу:
\left|\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\left[\frac{1}{x}\right]^{'}\right|=\left|\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{x^{2}}\right|<\frac{2}{x^{2}}
3) Докажем по Коши сходимость первого слагаемого в (\ref{razl2}),
используя, что
\left|\intop_{b'}^{b''}\left[\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{x}\right]^{'}dx\right|=\left|\left.\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{x}\right|_{b'}^{b''}\right|=
=\left|\frac{e^{-\alpha b'}\left(\cos b'+\alpha\sin b'\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{b'}-\frac{e^{-\alpha b''}\left(\cos b''+\alpha\sin b''\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{b''}\right|\leqslant
\leqslant\left|\frac{e^{-\alpha b'}\left(\cos b'+\alpha\sin b'\right)}{1+\alpha^{2}}\right|\left|\frac{1}{b'}\right|+\left|\frac{e^{-\alpha b''}\left(\cos b''+\alpha\sin b''\right)}{1+\alpha^{2}}\right|\left|\frac{1}{b''}\right|<2\left|\frac{1}{b'}\right|+2\left|\frac{1}{b''}\right|.