Processing math: 23%

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

26.09.2017

План решения №3760

Filed under: импульсы — Shine @ 1:57 дп

1) разложим интеграл по двум интервалам:
0eαxxsinxdx=10eαxxsinxdx+1eαxxsinxdx.
В первом слагаемом выполним замену x=1y
10eαxxsinxdx=1eαy1ysin1y(1y2)dy=1eαyysin1ydy.
Докажем, что оно равномерно сходится по признаку Вейерштрасса.

2) Заметим, что
e^{-\alpha x}\sin x=\left[-\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\right]_{x}^{‘}.
Докажем, что при x>0
\left|\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\right|<2. Разложим второе слагаемое из (\ref{eq:razl}) почти по частям: \begin{equation} \intop_{1}^{\infty}\frac{e^{-\alpha x}}{x}\sin xdx=-\intop_{1}^{\infty}\left[\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\right]^{'}\frac{1}{x}dx=-\intop_{1}^{\infty}\left[\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{x}\right]^{'}dx+\intop_{1}^{\infty}\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\left[\frac{1}{x}\right]^{'}dx\label{razl2} \end{equation} Второе слагаемое равномерно сходится по Вейерштрассу: \left|\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\left[\frac{1}{x}\right]^{'}\right|=\left|\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{x^{2}}\right|<\frac{2}{x^{2}} 3) Докажем по Коши сходимость первого слагаемого в (\ref{razl2}), используя, что \left|\intop_{b'}^{b''}\left[\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{x}\right]^{'}dx\right|=\left|\left.\frac{e^{-\alpha x}\left(\cos x+\alpha\sin x\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{x}\right|_{b'}^{b''}\right|= =\left|\frac{e^{-\alpha b'}\left(\cos b'+\alpha\sin b'\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{b'}-\frac{e^{-\alpha b''}\left(\cos b''+\alpha\sin b''\right)}{1+\alpha^{2}}\frac{1}{b''}\right|\leqslant \leqslant\left|\frac{e^{-\alpha b'}\left(\cos b'+\alpha\sin b'\right)}{1+\alpha^{2}}\right|\left|\frac{1}{b'}\right|+\left|\frac{e^{-\alpha b''}\left(\cos b''+\alpha\sin b''\right)}{1+\alpha^{2}}\right|\left|\frac{1}{b''}\right|<2\left|\frac{1}{b'}\right|+2\left|\frac{1}{b''}\right|.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников