Что-то я хватку потерял.
Во-первых, для функции, заданной параметрически,
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x=\varphi\left(t\right)\\
y=\psi\left(t\right)
\end{array}\right.
\]
формула производной доказывается следующим образом. Пусть на некотором промежутке монотонности функции $\varphi\left(t\right)$ обратная функция обозначается $\tilde{\varphi}$ и параметр $t$ можно выразить так:
\[
t=\tilde{\varphi}\left(x\right).
\]
Тогда
\[
x=\varphi\left(\tilde{\varphi}\left(x\right)\right),
\]
и, дифференцируя обе части этого равенства (в правой части — сложная функция), мы получим
\[
1=\varphi’\left(\tilde{\varphi}\left(x\right)\right)\tilde{\varphi}’\left(x\right)=\varphi’\left(t\right)\tilde{\varphi}’\left(x\right),
\]
откуда
\begin{equation}
\tilde{\varphi}’\left(x\right)=\frac{1}{\varphi’\left(t\right)}.\label{ur1}
\end{equation}
Функцию $y\left(x\right)$ можно выразить таким образом:
\[
y=\psi\left(\tilde{\varphi}\left(x\right)\right),
\]
и тогда производную, пользуясь вышенайденным (\ref{ur1}) — вычислить так:
\[
y’=\left[\psi\left(\tilde{\varphi}\left(x\right)\right)\right]’=\psi’\left(\tilde{\varphi}\left(x\right)\right)\tilde{\varphi}’\left(x\right)=\psi’\left(t\right)\cdot\frac{1}{\varphi’\left(t\right)}=\frac{\psi’\left(t\right)}{\varphi’\left(t\right)},
\]
что и требовалось получить.
Во-вторых, №1048 решается так.
Сначала найдём Х, не выражая Х:
\[
x^{2}+2xy-y^{2}=2x,
\]
\[
2x-2yy’+2y+2xy’=2,
\]
\[
x-yy’+y+xy’=1,
\]
\[
\left(x-y\right)y’=1-x-y,
\]
\begin{equation}
y’=\frac{1-x-y}{x-y}.\label{neyav}
\end{equation}
Теперь решим исходное уравнение относительно Х, и продифференцируем полученное:
\[
-y^{2}+2xy+x^{2}-2x=0,
\]
\[
D=x^{2}-\left(-1\right)\left(x^{2}-2x\right)=2x^{2}-2x,
\]
\[
y_{1}=\frac{-x+\sqrt{2x^{2}-2x}}{-1}=x-\sqrt{2x^{2}-2x}\qquad y_{2}=x+\sqrt{2x^{2}-2x}.
\]
Выберем первую ветвь (доказательство для второй аналогично и может быть предоставлено читателю).
\begin{equation}
y_{1}=x-\sqrt{2x^{2}-2x}\label{yis}
\end{equation}
\begin{equation}
y_{1}’=1-\frac{4x-2}{2\sqrt{2x^{2}-2x}}=1-\frac{2x-1}{\sqrt{2x^{2}-2x}}.\label{dyis}
\end{equation}
Проверка Теперь докажем, что мы получили то же, что и в (\ref{neyav}), подставив (\ref{yis}) в (\ref{neyav}):
\[
y_{1}’=\frac{1-x-\left[x-\sqrt{2x^{2}-2x}\right]}{x-\left[x-\sqrt{2x^{2}-2x}\right]}=\frac{1-2x+\sqrt{2x^{2}-2x}}{\sqrt{2x^{2}-2x}}=1+\frac{1-2x}{\sqrt{2x^{2}-2x}}=1-\frac{2x-1}{\sqrt{2x^{2}-2x}},
\]
что совпадает с полученным в (\ref{dyis}).
