Что-то я хватку потерял.
Во-первых, для функции, заданной параметрически,
{x=φ(t)y=ψ(t)
формула производной доказывается следующим образом. Пусть на некотором промежутке монотонности функции φ(t) обратная функция обозначается ˜φ и параметр t можно выразить так:
t=˜φ(x).
Тогда
x=φ(˜φ(x)),
и, дифференцируя обе части этого равенства (в правой части — сложная функция), мы получим
1=φ′(˜φ(x))˜φ′(x)=φ′(t)˜φ′(x),
откуда
˜φ′(x)=1φ′(t).
Функцию y(x) можно выразить таким образом:
y=ψ(˜φ(x)),
и тогда производную, пользуясь вышенайденным (1) — вычислить так:
y′=[ψ(˜φ(x))]′=ψ′(˜φ(x))˜φ′(x)=ψ′(t)⋅1φ′(t)=ψ′(t)φ′(t),
что и требовалось получить.
Во-вторых, №1048 решается так.
Сначала найдём Х, не выражая Х:
x2+2xy−y2=2x,
2x−2yy′+2y+2xy′=2,
x−yy′+y+xy′=1,
(x−y)y′=1−x−y,
y′=1−x−yx−y.
Теперь решим исходное уравнение относительно Х, и продифференцируем полученное:
−y2+2xy+x2−2x=0,
D=x2−(−1)(x2−2x)=2x2−2x,
y1=−x+√2x2−2x−1=x−√2x2−2xy2=x+√2x2−2x.
Выберем первую ветвь (доказательство для второй аналогично и может быть предоставлено читателю).
y1=x−√2x2−2x
y′1=1−4x−22√2x2−2x=1−2x−1√2x2−2x.
Проверка Теперь докажем, что мы получили то же, что и в (2), подставив (3) в (2):
y′1=1−x−[x−√2x2−2x]x−[x−√2x2−2x]=1−2x+√2x2−2x√2x2−2x=1+1−2x√2x2−2x=1−2x−1√2x2−2x,
что совпадает с полученным в (4).
