Для обоснования возможности хотя бы дифференцирования по $n$ интеграла
\[
\intop_{0}^{1}x^{n-1}dx=\frac{1}{n}
\]
требовалось доказать равномерную сходимость возможных производных при $n>0$:
\[
\intop_{0}^{1}x^{n-1}\ln xdx=-\frac{1}{n^{2}}.
\]
Произведём в этом интеграле замену $x=\frac{1}{y}$, $dx=-\frac{dy}{y^{2}}$:
\[
\intop_{0}^{1}x^{n-1}\ln xdx=\intop_{\infty}^{1}\left(\frac{1}{y}\right)^{n-1}\ln\frac{1}{y}\left(-\frac{dy}{y^{2}}\right)=\intop_{\infty}^{1}\frac{1}{y^{n-1}}\ln y\frac{dy}{y^{2}}=-\intop_{1}^{\infty}\frac{\ln y}{y^{n+1}}dy=
\]
и проинтегрируем по частям:
\[
=\frac{1}{n}\intop_{1}^{\infty}\ln y\left(\frac{1}{y^{n}}\right)^{\prime}dy=\left.\frac{1}{n}\frac{\ln y}{y^{n}}\right|_{1}^{\infty}-\frac{1}{n}\intop_{1}^{\infty}\left(\ln y\right)^{\prime}\frac{1}{y^{n}}dy=-\frac{1}{n}\intop_{1}^{\infty}\frac{dy}{y^{n+1}}.
\]
Для применения критерия Коши необходимо оценить выражение
\[
\left|-\frac{1}{n}\intop_{b_{1}}^{b_{2}}\frac{dy}{y^{n+1}}\right|=\left|-\frac{1}{n}\left.\frac{y^{-n}}{-n}\right|_{b_{1}}^{b_{2}}\right|=\frac{1}{n^{2}}\left|\frac{1}{b_{2}^{n}}-\frac{1}{b_{1}^{n}}\right|=\frac{1}{n^{2}}\frac{1}{b_{1}^{n}}\left|\left(\frac{b_{1}}{b_{2}}\right)^{n}-1\right|.
\]
Заметим, что для всякого $b_{1}$ и при $b_{2}=2b_{1}$
\[
\lim_{n\to0}\frac{1}{n^{2}}\frac{1}{b_{1}^{n}}\left|\left(\frac{b_{1}}{b_{2}}\right)^{n}-1\right|=\lim_{n\to0}\frac{1}{n}\frac{1}{b_{1}^{n}}\left|\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-1}{n}\right|=\lim_{n\to0}\frac{1}{n}\frac{1}{b_{1}^{n}}\left|\ln\frac{1}{2}\right|=\ln2\lim_{n\to0}\frac{1}{n}=\infty,
\]
т.е. для $\forall E$ $\exists\delta>0$, $n<\delta$ $\Longrightarrow$
\[
\frac{1}{n^{2}}\frac{1}{b_{1}^{n}}\left|\left(\frac{b_{1}}{b_{2}}\right)^{n}-1\right|>E
\]
В частности, для $\varepsilon=1$ для $\forall B$ существует (годится любое) $b_{1}>B$ и $b_{2}=2b_{1}$, а также найдётся такое $n>0$, что
\[
\left|-\frac{1}{n}\intop_{b_{1}}^{b_{2}}\frac{dy}{y^{n+1}}\right|>\varepsilon,
\]
что означает, что исследуемый интеграл по критерию Коши не является сходящимся равномерно при $n>0$.
Задача была бы корректна при $n>n_0>0$ и исходный интеграл был бы дифференцируем в таком интервале (доказывается по признаку Вейерштрасса).
Но во всех изданиях, в которых я смотрел, был ноль.
