Для обоснования возможности хотя бы дифференцирования по n интеграла
1∫0xn−1dx=1n
требовалось доказать равномерную сходимость возможных производных при n>0:
1∫0xn−1lnxdx=−1n2.
Произведём в этом интеграле замену x=1y, dx=−dyy2:
1∫0xn−1lnxdx=1∫∞(1y)n−1ln1y(−dyy2)=1∫∞1yn−1lnydyy2=−∞∫1lnyyn+1dy=
и проинтегрируем по частям:
=1n∞∫1lny(1yn)′dy=1nlnyyn|∞1−1n∞∫1(lny)′1yndy=−1n∞∫1dyyn+1.
Для применения критерия Коши необходимо оценить выражение
|−1nb2∫b1dyyn+1|=|−1ny−n−n|b2b1|=1n2|1bn2−1bn1|=1n21bn1|(b1b2)n−1|.
Заметим, что для всякого b1 и при b2=2b1
lim
т.е. для \forall E \exists\delta>0, n<\delta \Longrightarrow
\frac{1}{n^{2}}\frac{1}{b_{1}^{n}}\left|\left(\frac{b_{1}}{b_{2}}\right)^{n}-1\right|>E
В частности, для \varepsilon=1 для \forall B существует (годится любое) b_{1}>B и b_{2}=2b_{1}, а также найдётся такое n>0, что
\left|-\frac{1}{n}\intop_{b_{1}}^{b_{2}}\frac{dy}{y^{n+1}}\right|>\varepsilon,
что означает, что исследуемый интеграл по критерию Коши не является сходящимся равномерно при n>0.
Задача была бы корректна при n>n_0>0 и исходный интеграл был бы дифференцируем в таком интервале (доказывается по признаку Вейерштрасса).
Но во всех изданиях, в которых я смотрел, был ноль.