Для обоснования возможности хотя бы дифференцирования по n интеграла
1∫0xn−1dx=1n
требовалось доказать равномерную сходимость возможных производных при n>0:
1∫0xn−1lnxdx=−1n2.
Произведём в этом интеграле замену x=1y, dx=−dyy2:
1∫0xn−1lnxdx=1∫∞(1y)n−1ln1y(−dyy2)=1∫∞1yn−1lnydyy2=−∞∫1lnyyn+1dy=
и проинтегрируем по частям:
=1n∞∫1lny(1yn)′dy=1nlnyyn|∞1−1n∞∫1(lny)′1yndy=−1n∞∫1dyyn+1.
Для применения критерия Коши необходимо оценить выражение
|−1nb2∫b1dyyn+1|=|−1ny−n−n|b2b1|=1n2|1bn2−1bn1|=1n21bn1|(b1b2)n−1|.
Заметим, что для всякого b1 и при b2=2b1
limn→01n21bn1|(b1b2)n−1|=limn→01n1bn1|(12)n−1n|=limn→01n1bn1|ln12|=ln2limn→01n=∞,
т.е. для ∀E ∃δ>0, n<δ ⟹
1n21bn1|(b1b2)n−1|>E
В частности, для ε=1 для ∀B существует (годится любое) b1>B и b2=2b1, а также найдётся такое n>0, что
|−1nb2∫b1dyyn+1|>ε,
что означает, что исследуемый интеграл по критерию Коши не является сходящимся равномерно при n>0.
Задача была бы корректна при n>n0>0 и исходный интеграл был бы дифференцируем в таком интервале (доказывается по признаку Вейерштрасса).
Но во всех изданиях, в которых я смотрел, был ноль.