Processing math: 44%

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

09.10.2019

Ещё раз к вопросу о равномерной сходимости интеграла в №3784

Filed under: мат. ан. сем. 3,пепел,Решения — Shine @ 4:04 пп

Для обоснования возможности хотя бы дифференцирования по n интеграла
10xn1dx=1n

требовалось доказать равномерную сходимость возможных производных при n>0:
10xn1lnxdx=1n2.
Произведём в этом интеграле замену x=1y, dx=dyy2:
10xn1lnxdx=1(1y)n1ln1y(dyy2)=11yn1lnydyy2=1lnyyn+1dy=
и проинтегрируем по частям:
=1n1lny(1yn)dy=1nlnyyn|11n1(lny)1yndy=1n1dyyn+1.
Для применения критерия Коши необходимо оценить выражение
|1nb2b1dyyn+1|=|1nynn|b2b1|=1n2|1bn21bn1|=1n21bn1|(b1b2)n1|.
Заметим, что для всякого b1 и при b2=2b1
lim
т.е. для \forall E \exists\delta>0, n<\delta \Longrightarrow \frac{1}{n^{2}}\frac{1}{b_{1}^{n}}\left|\left(\frac{b_{1}}{b_{2}}\right)^{n}-1\right|>E
В частности, для \varepsilon=1 для \forall B существует (годится любое) b_{1}>B и b_{2}=2b_{1}, а также найдётся такое n>0, что
\left|-\frac{1}{n}\intop_{b_{1}}^{b_{2}}\frac{dy}{y^{n+1}}\right|>\varepsilon,
что означает, что исследуемый интеграл по критерию Коши не является сходящимся равномерно при n>0.

Задача была бы корректна при n>n_0>0 и исходный интеграл был бы дифференцируем в таком интервале (доказывается по признаку Вейерштрасса).

Но во всех изданиях, в которых я смотрел, был ноль.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников