Решить уравнение:
y′′=ey
Для понижения порядка применяется замена y′=z(y), y′′=dzdydydx=z′z:
2z′z=2ey.
Интегрируем по y:
z2=2ey+˜C1,
z=±√2ey+˜C1,
y′=±√2ey+˜C1,
y′√2ey+˜C1=±1.
Интегрируем по x и выносим из-под корня экспоненту:
±x+C2=∫dy√2ey+˜C1=∫dy√2ey/2√1+˜C12e−y=1√2∫e−y/2dy√1+˜C12(e−y/2)2.
Дальнейшее зависит от знака ˜C1.
1) ˜C1<0; ˜C1=−2C21
1√2∫e−y/2dy√1+˜C12(e−y/2)2=1√2C1∫C1e−y/2dy√1−(C1e−y/2)2=
заменяем C1e−y/2=t, C1e−y/2dy=−2dt
=1√2C1∫C1e−y/2dy√1−(C1e−y/2)2=1√2C1∫−2dt√1−t2=−√2C1∫dt√1−t2=−√2C1arcsint=−√2C1arcsin(C1e−y/2)
Итак,
±x+C2=−√2C1arcsin(C1e−y/2)
C1√2(∓x−C2)=arcsin(C1e−y/2)
sin[C1√2(∓x−C2)]=C1e−y/2
eysin2[C1√2(∓x−C2)]=C21
2) ˜C1>0, ˜C1=2C21; далее делается та же замена на t, что и в предыдущем пункте:
1√2∫e−y/2dy√1+˜C12(e−y/2)2=1√2∫e−y/2dy√1+(C1e−y/2)2=1√2C1∫−2dt√1+t2=−√2C1∫dt√1+t2=−√2C1ln|t+√1+t2|=
Однако, чтобы получить ответ в духе Филиппова, мы забудем этот последний интеграл из Демидовича, а воспользуемся заменой t=shs
=−√2C1∫chs√1+sh2sds=−√2C1∫chschsds=−√2C1s.
Таким образом,
±x+C2=−√2C1s,
C1√2(∓x−C2)=s,
sh[C1√2(∓x−C2)]=shs=t=C1e−y/2,
ey/2sh[C1√2(∓x−C2)]=C1,
eysh2[C1√2(∓x−C2)]=C21.
3) ˜C1=0
1√2∫e−y/2dy√1+˜C12(e−y/2)2=1√2∫e−y/2dy√1=1√2e−y/2−12=−√2e−y/2,
±x+C2=−√2e−y/2,
ey/2(∓x−C2)=√2,
ey(∓x−C2)2=2.
Так получаются три решения. Полного сходства с ответом можно добиться дальнейшим переобозначением констант.