Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

18.11.2019

Филиппов №437 (для тов. Толмачёвой и других интересующихся)

Filed under: диф. уравнения,Решения — Shine @ 6:18 пп

Решить уравнение:
y=ey


Для понижения порядка применяется замена y=z(y), y=dzdydydx=zz:
2zz=2ey.
Интегрируем по y:
z2=2ey+˜C1,
z=±2ey+˜C1,
y=±2ey+˜C1,
y2ey+˜C1=±1.
Интегрируем по x и выносим из-под корня экспоненту:
±x+C2=dy2ey+˜C1=dy2ey/21+˜C12ey=12ey/2dy1+˜C12(ey/2)2.
Дальнейшее зависит от знака ˜C1.

1) ˜C1<0; ˜C1=2C21 12ey/2dy1+˜C12(ey/2)2=12C1C1ey/2dy1(C1ey/2)2= заменяем C1ey/2=t, C1ey/2dy=2dt =12C1C1ey/2dy1(C1ey/2)2=12C12dt1t2=2C1dt1t2=2C1arcsint=2C1arcsin(C1ey/2) Итак, ±x+C2=2C1arcsin(C1ey/2) C12(xC2)=arcsin(C1ey/2) sin[C12(xC2)]=C1ey/2 eysin2[C12(xC2)]=C21 2) ˜C1>0, ˜C1=2C21; далее делается та же замена на t, что и в предыдущем пункте:
12ey/2dy1+˜C12(ey/2)2=12ey/2dy1+(C1ey/2)2=12C12dt1+t2=2C1dt1+t2=2C1ln|t+1+t2|=
Однако, чтобы получить ответ в духе Филиппова, мы забудем этот последний интеграл из Демидовича, а воспользуемся заменой t=shs
=2C1chs1+sh2sds=2C1chschsds=2C1s.
Таким образом,
±x+C2=2C1s,
C12(xC2)=s,
sh[C12(xC2)]=shs=t=C1ey/2,
ey/2sh[C12(xC2)]=C1,
eysh2[C12(xC2)]=C21.

3) ˜C1=0
12ey/2dy1+˜C12(ey/2)2=12ey/2dy1=12ey/212=2ey/2,
±x+C2=2ey/2,
ey/2(xC2)=2,
ey(xC2)2=2.
Так получаются три решения. Полного сходства с ответом можно добиться дальнейшим переобозначением констант.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников