Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Работой поля $\overrightarrow{F}$ вдоль кривой $AB$ называется интеграл второго рода от этого поля по этой кривой. В случае замкнутости кривой кривая называется контуром, а тот же интеграл называется циркуляцией. Если кривая параметризована, т.е. радиус-вектор точек этой кривой есть функция от параметра $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left(t\right)$, интеграл находится так: $$\intop_{AB}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dl}=\intop_{t_{1}}^{t_{2}}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{r}_{t}^{\prime}dt,\qquad\overrightarrow{r}\left(t_{1}\right)=\overrightarrow{r_{A}},\;\overrightarrow{r}\left(t_{2}\right)=\overrightarrow{r_{B}}.$$ От направления обхода контура или незамкнутой кривой зависит знак интеграла. Если контур $C$ замкнут и лежит на некоторой поверхности, ограничивая на ней область $\Omega$, и векторное поле непрерывно на контуре $C$ и в области $\Omega$ вместе со своими первыми производными, то по формуле Стокса можно перейти от криволинейного интеграла по контуру $C$ к поверхностному по $\Omega$: $$\oint_{C}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dl}=\iint_{\Omega}\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dS}.$$

В качестве примера разберите решение задачи 105. Сами сделайте номера 106, 107, 108, 111, 104, 110.