Зачёл всем, кто прислал, кроме тов. Мусина: тому поставил 60%.
А 177-е, если покороче и по-векторному, можно решить так:
Найти
Δln1r,r=√x2+y2.
Сначала несколько вспомогательных вычислений:
gradr2=grad(x2+y2)=2x→i+2y→j=2→r.
Отсюда, как градиент функции от скалярного поля, можно вычислить
gradr=grad√r2=12√r2gradr2=12r2→r=→rr.
Пользуясь этим, найдём
gradlnr=1rgradr=1r→rr=→rr2,grad1r2=−2r3gradr=−2r3→rr=−2→rr4.
Также
div→r=∂x∂x+∂y∂y=2.
И, наконец,
Δln1r=divgradln1r=−divgradlnr=−div→rr2=−(grad1r2⋅→r+1r2div→r)=
=−(−2→r⋅→rr4+1r22)=−(−2r2r4+1r22)=0.
Поле, таким образом, является гармоническим, что и требовалось доказать.
Исправлено 9.04.2020. За найденные ошибки благодарность выносится тов. Толмачёвой Н.В.