Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Почему-то вызвал трудности №2439. В нём надо было найти длину кривой, заданной уравнением \[ y^{2}=\frac{x^{3}}{2a-x}. \] Ветвей у этой кривой две \[ y=\pm\sqrt{\frac{x^{3}}{2a-x}}. \] Длина находится по формуле \[ L=\intop_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{1+\left(y'\right)^{2}}dx. \] Для верхней ветви \[ y=\sqrt{\frac{x^{3}}{2a-x}},\quad y'=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{3}}{2a-x}\right)^{-1/2}\frac{3x^{2}\left(2a-x\right)-x^{3}\left(-1\right)}{\left(2a-x\right)^{2}}=\left(\frac{2a-x}{x^{3}}\right)^{1/2}x^{2}\frac{3a-x}{\left(2a-x\right)^{2}}=x^{1/2}\frac{3a-x}{\left(2a-x\right)^{3/2}}, \] \[ 1+\left(y'\right)^{2}=1+x\frac{\left(3a-x\right)^{2}}{\left(2a-x\right)^{3}}=\frac{\left(2a-x\right)^{3}}{\left(2a-x\right)^{3}}+\frac{x\left(3a-x\right)^{2}}{\left(2a-x\right)^{3}}= \] \[ =\frac{\left(2a\right)^{3}-3\left(2a\right)^{2}x+3\left(2a\right)x^{2}-x^{3}}{\left(2a-x\right)^{3}}+\frac{x\left(\left(3a\right)^{2}-2\left(3a\right)x+x^{2}\right)}{\left(2a-x\right)^{3}}=\frac{8a^{3}-12a^{2}x+6ax^{2}-x^{3}}{\left(2a-x\right)^{3}}+\frac{9a^{2}x-6ax^{2}+x^{3}}{\left(2a-x\right)^{3}}= \] \[ =\frac{8a^{3}-3a^{2}x}{\left(2a-x\right)^{3}}=a^{2}\frac{8a-3x}{\left(2a-x\right)^{3}}, \] \[ L_{\uparrow}=\intop_{0}^{5/3a}\sqrt{1+\left(y'\right)^{2}}dx=\intop_{0}^{5/3a}\sqrt{a^{2}\frac{8a-3x}{\left(2a-x\right)^{3}}}dx=a\intop_{0}^{5/3a}\frac{1}{2a-x}\sqrt{\frac{8a-3x}{2a-x}}dx. \] Заменим переменные \[ \sqrt{\frac{8a-3x}{2a-x}}=z,\quad x=a\frac{2z^{2}-8}{z^{2}-3},\quad dx=a\frac{4z\left(z^{2}-3\right)-2z\left(2z^{2}-8\right)}{\left(z^{2}-3\right)^{2}}dz=\frac{4az}{\left(z^{2}-3\right)^{2}}dz; \] \[ z\left(0\right)=2,\quad z\left(\frac{5}{3}a\right)=\sqrt{\frac{8a-3\frac{5}{3}a}{2a-\frac{5}{3}a}}=3; \] тогда \[ L_{\uparrow}=a\intop_{0}^{5/3a}\frac{1}{2a-x}\sqrt{\frac{8a-3x}{2a-x}}dx=a\intop_{2}^{3}\frac{1}{2a-a\frac{2z^{2}-8}{z^{2}-3}}z\frac{4az}{\left(z^{2}-3\right)^{2}}dz=2a\intop_{2}^{3}\frac{1}{1-\frac{z^{2}-4}{z^{2}-3}}\frac{z^{2}}{\left(z^{2}-3\right)^{2}}dz= \] \[ =2a\intop_{2}^{3}\frac{1}{\left(z^{2}-3\right)-\left(z^{2}-4\right)}\frac{z^{2}}{\left(z^{2}-3\right)}dz=2a\intop_{2}^{3}\frac{z^{2}}{z^{2}-3}dz, \] а это уже довольно простой интеграл. \[ L_{\uparrow}=2a\intop_{2}^{3}\frac{z^{2}}{z^{2}-3}dz=2a\intop_{2}^{3}\left(1+\frac{3}{z^{2}-3}\right)dz=2a\left.\left(z+\frac{\sqrt{3}}{2}\ln\frac{z-\sqrt{3}}{z+\sqrt{3}}\right)\right|_{2}^{3}= \] \[ =2a\left[1+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\ln\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}-\ln\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)\right]=2a\left[1+\frac{\sqrt{3}}{2}\ln\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\right]=2a\left[1+\sqrt{3}\ln\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\right]=2a\left[1+\sqrt{3}\ln\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right]. \] Длина нижней ветви считается аналогично, только $y$ будет с минусом, который доживёт ровно до подкоренного выражения в интеграле. Полная длина: \[ L=L_{\uparrow}+L_{\downarrow}=2L_{\uparrow}=4a\left[1+\sqrt{3}\ln\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right]. \]