Возникают у ряда товарищей вопросы по плоскостям симметрии. Плоскость симметрии ищется легко.
Допустим, поверхность задаётся уравнением вида F(x,y2,z)=0 — т.е. y входит в него только в квадрате. Тогда если точка (x,y,z) удовлетворяет уравнению и, соответственно, лежит на поверхности — то точка (x,−y,z) тоже удовлетворяет и лежит. Значит, поверхность делится на две симметричные части — состоящие из точек с положительным и отрицательным y, у которых отличается только знак при y. А между этими частями будет лежать плоскость симметрии y=0.
То же самое относится к любой другой координате.
Вышеописанный алгоритм относится к уравнению поверхности в канонической форме, в которой каждая координата присутствует или только в квадрате, или только в первой степени. Если же уравнение записывается не в канонической форме, то его нужно в таковую привести, что сопровождается заменой координат: или сделать сдвиг координатных осей (если не было перекрёстных произведений, как до сегодняшнего дня), или сначала поворот, потом сдвиг.
И если в новых координатах вы получили каноническое уравнение, а по нему определили, по соображениям, аналогичным вышеизложенным, что плоскость симметрии задаётся уравнением y1=0 — то потом можно вспомнить, что y1 получилось сдвигом y1=y′+y0, а y′ появилось в ходе поворота, и если из уравнений перехода выразить промежуточные переменные через старые, то получится уравнение вида y′=αx+βy+γz; а вспомнив — представить плоскость симметрии в старых координатах:
y′+y0=0
αx+βy+γz+y0=0