Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Возникают у ряда товарищей вопросы по плоскостям симметрии. Плоскость симметрии ищется легко.

Допустим, поверхность задаётся уравнением вида $F(x,y^2,z)=0$ — т.е. $y$ входит в него только в квадрате. Тогда если точка $(x,y,z)$ удовлетворяет уравнению и, соответственно, лежит на поверхности — то точка $(x,-y,z)$ тоже удовлетворяет и лежит. Значит, поверхность делится на две симметричные части — состоящие из точек с положительным и отрицательным $y$, у которых отличается только знак при $y$. А между этими частями будет лежать плоскость симметрии $y=0$.

То же самое относится к любой другой координате.

Вышеописанный алгоритм относится к уравнению поверхности в канонической форме, в которой каждая координата присутствует или только в квадрате, или только в первой степени. Если же уравнение записывается не в канонической форме, то его нужно в таковую привести, что сопровождается заменой координат: или сделать сдвиг координатных осей (если не было перекрёстных произведений, как до сегодняшнего дня), или сначала поворот, потом сдвиг.

И если в новых координатах вы получили каноническое уравнение, а по нему определили, по соображениям, аналогичным вышеизложенным, что плоскость симметрии задаётся уравнением $y_1=0$ — то потом можно вспомнить, что $y_1$ получилось сдвигом $y_1=y’+y_0$, а $y’$ появилось в ходе поворота, и если из уравнений перехода выразить промежуточные переменные через старые, то получится уравнение вида $y’=\alpha x + \beta y + \gamma z$; а вспомнив — представить плоскость симметрии в старых координатах:

$$y’+y_0=0$$
$$\alpha x + \beta y + \gamma z+y_0=0$$