Осталась тема интегрирования в криволинейных координатах.
№209 Найти в сферических координатах поток поля \[ \vec{F}=r\vec{e}_{r} \] через поверхность полушара $0\leqslant r\leqslant a$, $0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}$.
Поток через полусферу: $r=a$, $0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}$, $0\leqslant\varphi\leqslant2\pi$, \[ \overrightarrow{dS}=\left[\vec{r}_{\theta}'\times\vec{r}_{\varphi}'\right]d\theta d\varphi=H_{\theta}H_{\varphi}\left[\vec{e}_{\theta}\times\vec{e}_{\varphi}\right]d\theta d\varphi=r^{2}\sin\theta\vec{e}_{r}d\theta d\varphi=a^{2}\sin\theta\vec{e}_{r}d\theta d\varphi. \] Такой $\overrightarrow{dS}$ даже направлен наружу из полусферы - как раз как нам надо. \[ \vec{F}\cdot\overrightarrow{dS}=a\vec{e}_{r}\cdot a^{2}\sin\theta\vec{e}_{r}d\theta d\varphi=a^{3}\sin\theta\,d\theta d\varphi, \] \[ \iint\vec{F}\cdot\overrightarrow{dS}=a^{3}\intop_{0}^{2\pi}d\varphi\intop_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=2\pi a^{3}\left.\left(-\cos\theta\right)\right|_{0}^{\pi/2}=2\pi a^{3}\left(0-\left(-1\right)\right)=2\pi a^{3}. \] Как видите, довольно удобно.
Поток через основание: $\theta=\frac{\pi}{2}$, $0\leqslant r\leqslant a$, $0\leqslant\varphi\leqslant2\pi$, \[ \overrightarrow{dS}=\left[\vec{r}_{r}'\times\vec{r}_{\varphi}'\right]drd\varphi=H_{r}H_{\varphi}\left[\vec{e}_{r}\times\vec{e}_{\varphi}\right]drd\varphi=-r\sin\theta\left[\vec{e}_{\varphi}\times\vec{e}_{r}\right]drd\varphi=-r\vec{e}_{\theta}drd\varphi \] как полагается, направлен вниз. \[ \vec{F}\cdot\overrightarrow{dS}=r\vec{e}_{r}\cdot\left(-r\vec{e}_{\theta}drd\varphi\right)=-r^{2}\left(\vec{e}_{r}\cdot\vec{e}_{\theta}\right)drd\varphi=0, \] \[ \iint\vec{F}\cdot\overrightarrow{dS}=0. \] Полный поток равен $2\pi a^{3}$.
Для теоремы Остроградского понадобится \[ \mathrm{div}\,\vec{F}=\frac{1}{H_{r}H_{\theta}H_{\varphi}}\left[\frac{\partial\left(H_{\theta}H_{\varphi}F_{r}\right)}{\partial r}+\frac{\partial\left(H_{r}H_{\varphi}F_{\theta}\right)}{\partial\theta}+\frac{\partial\left(H_{r}H_{\theta}F_{\varphi}\right)}{\partial\varphi}\right]=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial\left(r^{2}\sin\theta\cdot r\right)}{\partial r}=3, \] после чего становится ясно, что поток есть утроенный объём полушара: \[ \iint\vec{F}\cdot\overrightarrow{dS}=\iiint_{V}3dV=3\cdot V=3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}=2\pi a^{3}. \]
№215 Вычислить циркуляцию векторного поля \[ \vec{F}=z\vec{e}_{r}+rz\vec{e}_{\varphi}+r\vec{e}_{z} \] по окружности \[ C:\left\{ r=1,\quad z=0\right\} . \] Радиус-вектор точек окружности является функцией координат, в данном случае - цилиндрических $\vec{r}=\vec{r}\left(r,\varphi,z\right)$, но координаты $r$ и $z$ - константы по условиям задачи. Значит, параметром работает координата $\varphi$, так как циркуляция вычисляется по всей окружности, $0\leqslant\varphi\leqslant2\pi$ и \[ \overrightarrow{dl}=\vec{r}_{\varphi}'d\varphi=H_{\varphi}\vec{e}_{\varphi}d\varphi=r\vec{e}_{\varphi}d\varphi, \] \[ \vec{F}\cdot\overrightarrow{dl}=\left(z\vec{e}_{r}+rz\vec{e}_{\varphi}+r\vec{e}_{z}\right)\cdot r\vec{e}_{\varphi}d\varphi=r^{2}z\,d\varphi=0, \] и сама циркуляция \[ \intop_{C}\vec{F}\cdot\overrightarrow{dl}=\intop_{0}^{2\pi}0=0. \] Задание: решить задачи № 207, 208, 214, 216.
