Начнём с простых вещей. Так как cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)], для целых k,n⩾
\intop_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos nxdx=\intop_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}\left[\cos\left(k+n\right)x+\cos\left(k-n\right)x\right]dx= беря этот интеграл, получим =\left.\frac{1}{2}\left[\frac{\sin\left(k+n\right)x}{k+n}+\frac{\sin\left(k-n\right)x}{k-n}\right]\right|_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin\left(k+n\right)\pi}{k+n}+\frac{\sin\left(k-n\right)\pi}{k-n}+\frac{\sin\left(k+n\right)\pi}{k+n}+\frac{\sin\left(k-n\right)\pi}{k-n}\right]=0, но только для k+n\neq0 и k-n\neq0, чтобы не обнулялись знаменатели.
Но не сразу эти выражения стали знаменателями, поэтому исходный интеграл можно получить и при перечисленных выражениях равных нулю. Всего нужно рассмотреть четыре случая:
- k+n\neq0, k-n\neq0 (уже рассмотрели),
- k+n=0, k-n\neq0 ,
- k+n\neq0, k-n=0 ,
- k+n=0, k-n=0 .
Пусть. k+n=0. Так как k,n\geqslant0, это может произойти только если k=n=0, откуда k-n=0. Значит, мы рассматриваем четвёртый случай, а второй невозможен. Значение интеграла получается очевидно: \intop_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos nxdx=\intop_{-\pi}^{\pi}1\cdot1dx=2\pi. Остался третий случай, k=n\neq0: \intop_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos nxdx=\intop_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}kx\,dx=\intop_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\sin\left(2kx\right)}{2}dx= =\left.\left[\frac{x}{2}+\frac{\cos\left(2kx\right)}{4k}\right]\right|_{-\pi}^{\pi}=\pi+\frac{\cos\left(2k\pi\right)}{4k}-\frac{\cos\left(2k\pi\right)}{4k}=\pi. Итак, \intop_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos nxdx=\left\{ \begin{array}{cl} 0, & k\neq n,\\ \pi, & k=n\neq0,\\ 2\pi, & k=n=0. \end{array}\right. Задание: аналогично получить всевозможные результаты для интегралов \intop_{-\pi}^{\pi}\sin kx\sin nxdx\qquad\text{и}\qquad\intop_{-\pi}^{\pi}\sin kx\cos nxdx. Ответы должны получиться такие: \intop_{-\pi}^{\pi}\sin kx\sin nxdx=\left\{ \begin{array}{cl} 0, & k\neq n,\\ \pi, & k=n\neq0,\\ 0, & k=n=0; \end{array}\right. \intop_{-\pi}^{\pi}\sin kx\cos nxdx=0.
Чтобы начали привыкать заранее, скажу, что функции из набора f_{n}\left(x\right), n=n_{0},n_{0}+1,..., удовлетворяющие условию \intop_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)f_{k}\left(x\right)l\left(x\right)dx=p_{k}\delta_{ik}, называются на отрезке \left[a,b\right] ортогональными с весом l\left(x\right). Ортогональные функции – ценный математический инструмент, который позже будет неоднократно применяться. Ниже можно увидеть, и что при помощи них обычно делают.
Пусть на отрезке x\in\left[-\pi,\pi\right] функция f\left(x\right) представлена в таком странном виде: f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) (ряд справа называется рядом Фурье). Совершим с этим соотношением следующие действия: сначала умножим обе части на \cos kx, где k > 0 f\left(x\right)\cos kx=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos nx\cos kx+b_{n}\sin nx\cos kx\right) и проинтегрируем обе части от -\pi до \pi, воспользовавшись вышенайденным: \intop_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\cos kxdx=\intop_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos nx\cos kx+b_{n}\sin nx\cos kx\right)dx= =\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\intop_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos kxdx+b_{n}\intop_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos kxdx\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\pi\delta_{nk}+b_{n}\cdot0\right)=\pi a_{k}. Отсюда получаем формулу для нахождения a_{k}: a_{k}=\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\cos kxdx. Для того, чтобы найти a_{0}, можно сразу проинтегрировать, ничего не умножая: \intop_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)dx=\intop_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)dx=\intop_{-\pi}^{\pi}a_{0}dx+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\intop_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx+b_{n}\intop_{-\pi}^{\pi}\sin nxdx\right)=2\pi a_{0}, a_{0}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)dx (От обозначений в Демидовиче мои отличаются расположением \frac{1}{2} при a_{0}). Теперь найдём b_{k}, k > 0: f\left(x\right)\sin kx=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos nx\sin kx+b_{n}\sin nx\sin kx\right), \intop_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\sin kxdx=\intop_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos nx\sin kx+b_{n}\sin nx\sin kx\right)dx= =\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\intop_{-\pi}^{\pi}\cos nx\sin kxdx+b_{n}\intop_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin kxdx\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cdot0+b_{n}\pi\delta_{nk}\right)=b_{k}\pi, b_{k}=\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\sin kxdx. На случай подстановки в исходный ряд Фурье с x, меняют переменные интегрирования, да и индекс суммирования лучше заменить обратно: a_{n}=\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}f\left(y\right)\cos nydy, a_{0}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}f\left(y\right)dy, b_{n}=\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}f\left(y\right)\sin nydy. Задание: понять, почему мы не ищем b_{0}.
Дальше начинаются вариации относительно базового случая разложения на отрезке \left[-\pi,\pi\right]. Пусть при x\in\left[-l,l\right] задана функция f\left(x\right). Введём новую переменную y=\frac{\pi x}{l},\qquad x=\frac{ly}{\pi} и новую функцию. g\left(y\right)=f\left(x\right)=f\left(\frac{ly}{\pi}\right). Аргумент этой функции будет уже принадлежать отрезку \left[-\pi,\pi\right], и потому g\left(y\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos ny+b_{n}\sin ny\right), где a_{n}=\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}g\left(y\right)\cos nydy,\qquad a_{0}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}g\left(y\right)dy,\qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}g\left(y\right)\sin nydy. Перейдём к старым функциям и переменным: при x\in\left[-l,l\right] \begin{equation} f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{\pi nx}{l}+b_{n}\sin\frac{\pi nx}{l}\right),\label{rf} \end{equation} a_{n}=\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}g\left(y\right)\cos nydy= \frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\cos n\frac{\pi x}{l}d\frac{\pi x}{l}= \frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\cos\frac{\pi nx}{l}dx, a_{0}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}g\left(y\right)dy=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)d\frac{\pi x}{l}= \frac{1}{2l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)dx, b_{n}=\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}g\left(y\right)\sin nydy=\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\sin n\frac{\pi x}{l}d\frac{\pi x}{l}= \frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\sin\frac{\pi nx}{l}dx. Разложить функцию в ряд Фурье при x\in\left[-l,l\right] означает найти все коэффициенты разложения и подставить их в само разложение.
Возникает ещё и такой вопрос: если функция f\left(x\right) раскладывается в ряд Фурье на отрезке \left[-l,l\right], то на этом отрезке она ему равна. Что же происходит за пределами этого отрезка? Внимательно посмотрев на правую часть (\ref{rf}), можно заметить, что для каждого слагаемого 2l является периодом (хоть и не всегда минимальным). Таким образом весь ряд Фурье будет периодической функцией с периодом 2l; ход функции f\left(x\right) на отрезке \left[-l,l\right] будет бесконечно воспроизводиться за его пределами (см. рис. 1).

Отметим ещё один способ сократить работу, воспользовавшись чётностью раскладываемых функций. Пусть f\left(-x\right)=-f\left(x\right). Тогда \intop_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=\intop_{-a}^{0}f\left(x\right)dx+\intop_{0}^{a}f\left(x\right)dx= применим в первом интеграле замену x=-y, а во втором – x=y =-\intop_{a}^{0}f\left(-y\right)dy+\intop_{0}^{a}f\left(y\right)dy=-\intop_{0}^{a}f\left(y\right)dy+\intop_{0}^{a}f\left(y\right)dy=0. Пусть теперь f\left(-x\right)=f\left(x\right). Тогда \intop_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=\intop_{-a}^{0}f\left(x\right)dx+\intop_{0}^{a}f\left(x\right)dx= =-\intop_{a}^{0}f\left(-y\right)dy+\intop_{0}^{a}f\left(y\right)dy=\intop_{0}^{a}f\left(y\right)dy+\intop_{0}^{a}f\left(y\right)dy=2\intop_{0}^{a}f\left(y\right)dy. Так как произведение двух чётных либо двух нечётных функций чётно, а произведение чётной и нечётной – нечётно, то для чётной функции f\left(x\right) a_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\cos\frac{\pi nx}{l}dx=\frac{2}{l}\intop_{0}^{l}f\left(x\right)\cos\frac{\pi nx}{l}dx, a_{0}=\frac{1}{2l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)dx=\frac{1}{l}\intop_{0}^{l}f\left(x\right)dx, b_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\sin\frac{\pi nx}{l}dx=0. Если же функция f\left(x\right) нечётна, a_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\cos\frac{\pi nx}{l}dx=0, a_{0}=\frac{1}{2l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)dx=0, b_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\sin\frac{\pi nx}{l}dx=\frac{2}{l}\intop_{0}^{l}f\left(x\right)\sin\frac{\pi nx}{l}dx.
Пример: №2944 Разложить в ряд Фурье в интервале \left[-\pi,\pi\right] функцию f\left(x\right)=\pi^{2}-x^{2}.
Заметим, что l=\pi и функция f\left(x\right) чётна: f\left(-x\right)=\pi^{2}-\left(-x\right)^{2}=\pi^{2}-x^{2}=f\left(x\right), поэтому b_{n}=0. a_{0}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}\left(\pi^{2}-x^{2}\right)dx=\frac{1}{2\pi}\left.\left(\pi^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right)\right|_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{2\pi}\left[\left(\pi^{2}\pi-\frac{\pi^{3}}{3}\right)-\left(\pi^{2}\left(-\pi\right)-\frac{\left(-\pi\right)^{3}}{3}\right)\right]=\frac{2}{3}\pi^{2} Для нахождения a_{n} придётся дважды интегрировать по частям: a_{n}=\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}\left(\pi^{2}-x^{2}\right)\cos\frac{\pi nx}{\pi}dx=\frac{1}{\pi n}\intop_{-\pi}^{\pi}\left(\pi^{2}-x^{2}\right)\sin'nxdx= =\frac{1}{\pi n}\left.\left(\pi^{2}-x^{2}\right)\sin nx\right|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{\pi n}\intop_{-\pi}^{\pi}\left(\pi^{2}-x^{2}\right)'\sin nxdx=\frac{2}{\pi n}\intop_{-\pi}^{\pi}x\sin nxdx=-\frac{2}{\pi n^{2}}\intop_{-\pi}^{\pi}x\cos'nxdx= =-\frac{2}{\pi n^{2}}\left.x\cos nx\right|_{-\pi}^{\pi}+\frac{2}{\pi n^{2}}\intop_{-\pi}^{\pi}x'\cos nxdx=-\frac{2}{\pi n^{2}}\left.x\cos nx\right|_{-\pi}^{\pi}+\frac{2}{\pi n^{3}}\left.\sin nx\right|_{-\pi}^{\pi}=-\frac{2}{\pi n^{2}}\left[\pi\cos n\pi-\left(-\pi\right)\cos n\left(-\pi\right)\right]= =-\frac{2}{\pi n^{2}}\left[\pi-\left(-\pi\right)\right]\cos n\pi=\left(-1\right)^{n+1}\frac{4}{n^{2}}. С такими коэффициентами f\left(x\right)= \sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{\pi nx}{l}+b_{n}\sin\frac{\pi nx}{l}\right)= a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\frac{\pi nx}{l}= \frac{2}{3}\pi^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}4\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n^{2}}\cos\frac{\pi nx}{l}.
Задание: решить самостоятельно № 2940, 2942, 2948, 2951.