Начнём с простых вещей. Так как cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)], для целых k,n⩾0
π∫−πcoskxcosnxdx=π∫−π12[cos(k+n)x+cos(k−n)x]dx= беря этот интеграл, получим =12[sin(k+n)xk+n+sin(k−n)xk−n]|π−π=12[sin(k+n)πk+n+sin(k−n)πk−n+sin(k+n)πk+n+sin(k−n)πk−n]=0, но только для k+n≠0 и k−n≠0, чтобы не обнулялись знаменатели.
Но не сразу эти выражения стали знаменателями, поэтому исходный интеграл можно получить и при перечисленных выражениях равных нулю. Всего нужно рассмотреть четыре случая:
- k+n≠0, k−n≠0 (уже рассмотрели),
- k+n=0, k−n≠0 ,
- k+n≠0, k−n=0 ,
- k+n=0, k−n=0 .
Пусть. k+n=0. Так как k,n⩾0, это может произойти только если k=n=0, откуда k−n=0. Значит, мы рассматриваем четвёртый случай, а второй невозможен. Значение интеграла получается очевидно: π∫−πcoskxcosnxdx=π∫−π1⋅1dx=2π. Остался третий случай, k=n≠0: π∫−πcoskxcosnxdx=π∫−πcos2kxdx=π∫−π1−sin(2kx)2dx= =[x2+cos(2kx)4k]|π−π=π+cos(2kπ)4k−cos(2kπ)4k=π. Итак, π∫−πcoskxcosnxdx={0,k≠n,π,k=n≠0,2π,k=n=0. Задание: аналогично получить всевозможные результаты для интегралов π∫−πsinkxsinnxdxиπ∫−πsinkxcosnxdx. Ответы должны получиться такие: π∫−πsinkxsinnxdx={0,k≠n,π,k=n≠0,0,k=n=0; π∫−πsinkxcosnxdx=0.
Чтобы начали привыкать заранее, скажу, что функции из набора fn(x), n=n0,n0+1,..., удовлетворяющие условию b∫afn(x)fk(x)l(x)dx=pkδik, называются на отрезке [a,b] ортогональными с весом l(x). Ортогональные функции – ценный математический инструмент, который позже будет неоднократно применяться. Ниже можно увидеть, и что при помощи них обычно делают.
Пусть на отрезке x∈[−π,π] функция f(x) представлена в таком странном виде: f(x)=∞∑n=0(ancosnx+bnsinnx) (ряд справа называется рядом Фурье). Совершим с этим соотношением следующие действия: сначала умножим обе части на coskx, где k>0 f(x)coskx=∞∑n=0(ancosnxcoskx+bnsinnxcoskx) и проинтегрируем обе части от −π до π, воспользовавшись вышенайденным: π∫−πf(x)coskxdx=π∫−π∞∑n=0(ancosnxcoskx+bnsinnxcoskx)dx= =∞∑n=0(anπ∫−πcosnxcoskxdx+bnπ∫−πsinnxcoskxdx)=∞∑n=0(anπδnk+bn⋅0)=πak. Отсюда получаем формулу для нахождения ak: ak=1ππ∫−πf(x)coskxdx. Для того, чтобы найти a0, можно сразу проинтегрировать, ничего не умножая: π∫−πf(x)dx=π∫−π∞∑n=0(ancosnx+bnsinnx)dx=π∫−πa0dx+∞∑n=1(anπ∫−πcosnxdx+bnπ∫−πsinnxdx)=2πa0, a0=12ππ∫−πf(x)dx (От обозначений в Демидовиче мои отличаются расположением 12 при a0). Теперь найдём bk, k>0: f(x)sinkx=∞∑n=0(ancosnxsinkx+bnsinnxsinkx), π∫−πf(x)sinkxdx=π∫−π∞∑n=0(ancosnxsinkx+bnsinnxsinkx)dx= =∞∑n=0(anπ∫−πcosnxsinkxdx+bnπ∫−πsinnxsinkxdx)=∞∑n=0(an⋅0+bnπδnk)=bkπ, bk=1ππ∫−πf(x)sinkxdx. На случай подстановки в исходный ряд Фурье с x, меняют переменные интегрирования, да и индекс суммирования лучше заменить обратно: an=1ππ∫−πf(y)cosnydy, a0=12ππ∫−πf(y)dy, bn=1ππ∫−πf(y)sinnydy. Задание: понять, почему мы не ищем b0.
Дальше начинаются вариации относительно базового случая разложения на отрезке [−π,π]. Пусть при x∈[−l,l] задана функция f(x). Введём новую переменную y=πxl,x=lyπ и новую функцию. g(y)=f(x)=f(lyπ). Аргумент этой функции будет уже принадлежать отрезку [−π,π], и потому g(y)=∞∑n=0(ancosny+bnsinny), где an=1ππ∫−πg(y)cosnydy,a0=12ππ∫−πg(y)dy,bn=1ππ∫−πg(y)sinnydy. Перейдём к старым функциям и переменным: при x∈[−l,l] f(x)=∞∑n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl), an=1ππ∫−πg(y)cosnydy=1ππ∫−πf(x)cosnπxldπxl=1ll∫−lf(x)cosπnxldx, a0=12ππ∫−πg(y)dy=12ππ∫−πf(x)dπxl=12ll∫−lf(x)dx, bn=1ππ∫−πg(y)sinnydy=1ππ∫−πf(x)sinnπxldπxl=1ll∫−lf(x)sinπnxldx. Разложить функцию в ряд Фурье при x∈[−l,l] означает найти все коэффициенты разложения и подставить их в само разложение.
Возникает ещё и такой вопрос: если функция f(x) раскладывается в ряд Фурье на отрезке [−l,l], то на этом отрезке она ему равна. Что же происходит за пределами этого отрезка? Внимательно посмотрев на правую часть (1), можно заметить, что для каждого слагаемого 2l является периодом (хоть и не всегда минимальным). Таким образом весь ряд Фурье будет периодической функцией с периодом 2l; ход функции f(x) на отрезке [−l,l] будет бесконечно воспроизводиться за его пределами (см. рис. 1).

Отметим ещё один способ сократить работу, воспользовавшись чётностью раскладываемых функций. Пусть f(−x)=−f(x). Тогда a∫−af(x)dx=0∫−af(x)dx+a∫0f(x)dx= применим в первом интеграле замену x=−y, а во втором – x=y =−0∫af(−y)dy+a∫0f(y)dy=−a∫0f(y)dy+a∫0f(y)dy=0. Пусть теперь f(−x)=f(x). Тогда a∫−af(x)dx=0∫−af(x)dx+a∫0f(x)dx= =−0∫af(−y)dy+a∫0f(y)dy=a∫0f(y)dy+a∫0f(y)dy=2a∫0f(y)dy. Так как произведение двух чётных либо двух нечётных функций чётно, а произведение чётной и нечётной – нечётно, то для чётной функции f(x) an=1ll∫−lf(x)cosπnxldx=2ll∫0f(x)cosπnxldx, a0=12ll∫−lf(x)dx=1ll∫0f(x)dx, bn=1ll∫−lf(x)sinπnxldx=0. Если же функция f(x) нечётна, an=1ll∫−lf(x)cosπnxldx=0, a0=12ll∫−lf(x)dx=0, bn=1ll∫−lf(x)sinπnxldx=2ll∫0f(x)sinπnxldx.
Пример: №2944 Разложить в ряд Фурье в интервале [−π,π] функцию f(x)=π2−x2.
Заметим, что l=π и функция f(x) чётна: f(−x)=π2−(−x)2=π2−x2=f(x), поэтому bn=0. a0=12ππ∫−π(π2−x2)dx=12π(π2x−x33)|π−π=12π[(π2π−π33)−(π2(−π)−(−π)33)]=23π2 Для нахождения an придётся дважды интегрировать по частям: an=1ππ∫−π(π2−x2)cosπnxπdx=1πnπ∫−π(π2−x2)sin′nxdx= =1πn(π2−x2)sinnx|π−π−1πnπ∫−π(π2−x2)′sinnxdx=2πnπ∫−πxsinnxdx=−2πn2π∫−πxcos′nxdx= =−2πn2xcosnx|π−π+2πn2π∫−πx′cosnxdx=−2πn2xcosnx|π−π+2πn3sinnx|π−π=−2πn2[πcosnπ−(−π)cosn(−π)]= =−2πn2[π−(−π)]cosnπ=(−1)n+14n2. С такими коэффициентами f(x)=∞∑n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl)=a0+∞∑n=1ancosπnxl=23π2+∞∑n=14(−1)n+1n2cosπnxl.
Задание: решить самостоятельно № 2940, 2942, 2948, 2951.