Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

24.05.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-912 в 8:30 и гр. 06-922 в 11:50 в пн. 25.05.2020 (Демидович № 2944)

Начнём с простых вещей. Так как cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(αβ)], для целых k,n0

ππcoskxcosnxdx=ππ12[cos(k+n)x+cos(kn)x]dx= беря этот интеграл, получим =12[sin(k+n)xk+n+sin(kn)xkn]|ππ=12[sin(k+n)πk+n+sin(kn)πkn+sin(k+n)πk+n+sin(kn)πkn]=0, но только для k+n0 и kn0, чтобы не обнулялись знаменатели.

Но не сразу эти выражения стали знаменателями, поэтому исходный интеграл можно получить и при перечисленных выражениях равных нулю. Всего нужно рассмотреть четыре случая:

  1. k+n0, kn0 (уже рассмотрели),
  2. k+n=0, kn0 ,
  3. k+n0, kn=0 ,
  4. k+n=0, kn=0 .

Пусть. k+n=0. Так как k,n0, это может произойти только если k=n=0, откуда kn=0. Значит, мы рассматриваем четвёртый случай, а второй невозможен. Значение интеграла получается очевидно: ππcoskxcosnxdx=ππ11dx=2π. Остался третий случай, k=n0: ππcoskxcosnxdx=ππcos2kxdx=ππ1sin(2kx)2dx= =[x2+cos(2kx)4k]|ππ=π+cos(2kπ)4kcos(2kπ)4k=π. Итак, ππcoskxcosnxdx={0,kn,π,k=n0,2π,k=n=0. Задание: аналогично получить всевозможные результаты для интегралов ππsinkxsinnxdxиππsinkxcosnxdx. Ответы должны получиться такие: ππsinkxsinnxdx={0,kn,π,k=n0,0,k=n=0; ππsinkxcosnxdx=0.

Чтобы начали привыкать заранее, скажу, что функции из набора fn(x), n=n0,n0+1,..., удовлетворяющие условию bafn(x)fk(x)l(x)dx=pkδik, называются на отрезке [a,b] ортогональными с весом l(x). Ортогональные функции – ценный математический инструмент, который позже будет неоднократно применяться. Ниже можно увидеть, и что при помощи них обычно делают.

Пусть на отрезке x[π,π] функция f(x) представлена в таком странном виде: f(x)=n=0(ancosnx+bnsinnx) (ряд справа называется рядом Фурье). Совершим с этим соотношением следующие действия: сначала умножим обе части на coskx, где k>0 f(x)coskx=n=0(ancosnxcoskx+bnsinnxcoskx) и проинтегрируем обе части от π до π, воспользовавшись вышенайденным: ππf(x)coskxdx=ππn=0(ancosnxcoskx+bnsinnxcoskx)dx= =n=0(anππcosnxcoskxdx+bnππsinnxcoskxdx)=n=0(anπδnk+bn0)=πak. Отсюда получаем формулу для нахождения ak: ak=1πππf(x)coskxdx. Для того, чтобы найти a0, можно сразу проинтегрировать, ничего не умножая: ππf(x)dx=ππn=0(ancosnx+bnsinnx)dx=ππa0dx+n=1(anππcosnxdx+bnππsinnxdx)=2πa0, a0=12πππf(x)dx (От обозначений в Демидовиче мои отличаются расположением 12 при a0). Теперь найдём bk, k>0: f(x)sinkx=n=0(ancosnxsinkx+bnsinnxsinkx), ππf(x)sinkxdx=ππn=0(ancosnxsinkx+bnsinnxsinkx)dx= =n=0(anππcosnxsinkxdx+bnππsinnxsinkxdx)=n=0(an0+bnπδnk)=bkπ, bk=1πππf(x)sinkxdx. На случай подстановки в исходный ряд Фурье с x, меняют переменные интегрирования, да и индекс суммирования лучше заменить обратно: an=1πππf(y)cosnydy, a0=12πππf(y)dy, bn=1πππf(y)sinnydy. Задание: понять, почему мы не ищем b0.

Дальше начинаются вариации относительно базового случая разложения на отрезке [π,π]. Пусть при x[l,l] задана функция f(x). Введём новую переменную y=πxl,x=lyπ и новую функцию. g(y)=f(x)=f(lyπ). Аргумент этой функции будет уже принадлежать отрезку [π,π], и потому g(y)=n=0(ancosny+bnsinny), где an=1πππg(y)cosnydy,a0=12πππg(y)dy,bn=1πππg(y)sinnydy. Перейдём к старым функциям и переменным: при x[l,l] f(x)=n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl), an=1πππg(y)cosnydy=1πππf(x)cosnπxldπxl=1lllf(x)cosπnxldx, a0=12πππg(y)dy=12πππf(x)dπxl=12lllf(x)dx, bn=1πππg(y)sinnydy=1πππf(x)sinnπxldπxl=1lllf(x)sinπnxldx. Разложить функцию в ряд Фурье при x[l,l] означает найти все коэффициенты разложения и подставить их в само разложение.

Возникает ещё и такой вопрос: если функция f(x) раскладывается в ряд Фурье на отрезке [l,l], то на этом отрезке она ему равна. Что же происходит за пределами этого отрезка? Внимательно посмотрев на правую часть (1), можно заметить, что для каждого слагаемого 2l является периодом (хоть и не всегда минимальным). Таким образом весь ряд Фурье будет периодической функцией с периодом 2l; ход функции f(x) на отрезке [l,l] будет бесконечно воспроизводиться за его пределами (см. рис. 1).

рис. 1

Отметим ещё один способ сократить работу, воспользовавшись чётностью раскладываемых функций. Пусть f(x)=f(x). Тогда aaf(x)dx=0af(x)dx+a0f(x)dx= применим в первом интеграле замену x=y, а во втором – x=y =0af(y)dy+a0f(y)dy=a0f(y)dy+a0f(y)dy=0. Пусть теперь f(x)=f(x). Тогда aaf(x)dx=0af(x)dx+a0f(x)dx= =0af(y)dy+a0f(y)dy=a0f(y)dy+a0f(y)dy=2a0f(y)dy. Так как произведение двух чётных либо двух нечётных функций чётно, а произведение чётной и нечётной – нечётно, то для чётной функции f(x) an=1lllf(x)cosπnxldx=2ll0f(x)cosπnxldx, a0=12lllf(x)dx=1ll0f(x)dx, bn=1lllf(x)sinπnxldx=0. Если же функция f(x) нечётна, an=1lllf(x)cosπnxldx=0, a0=12lllf(x)dx=0, bn=1lllf(x)sinπnxldx=2ll0f(x)sinπnxldx.

Пример: №2944 Разложить в ряд Фурье в интервале [π,π] функцию f(x)=π2x2.

Заметим, что l=π и функция f(x) чётна: f(x)=π2(x)2=π2x2=f(x), поэтому bn=0. a0=12πππ(π2x2)dx=12π(π2xx33)|ππ=12π[(π2ππ33)(π2(π)(π)33)]=23π2 Для нахождения an придётся дважды интегрировать по частям: an=1πππ(π2x2)cosπnxπdx=1πnππ(π2x2)sinnxdx= =1πn(π2x2)sinnx|ππ1πnππ(π2x2)sinnxdx=2πnππxsinnxdx=2πn2ππxcosnxdx= =2πn2xcosnx|ππ+2πn2ππxcosnxdx=2πn2xcosnx|ππ+2πn3sinnx|ππ=2πn2[πcosnπ(π)cosn(π)]= =2πn2[π(π)]cosnπ=(1)n+14n2. С такими коэффициентами f(x)=n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl)=a0+n=1ancosπnxl=23π2+n=14(1)n+1n2cosπnxl.

Задание: решить самостоятельно № 2940, 2942, 2948, 2951.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников