Плоскость называется касательной плоскостью к поверхности, если она имеет с этой поверхностью точку касания. Точка касания - это такая общая точка между поверхностью и плоскостью, вокруг которой существует такой шар, делимый плоскостью на два полушария, что точки поверхности находятся только на грганице между полушариями и в одном из полушарий (но не во внутренности другого). Примерно так же, только вместо шара был круг, определялась касательная к кривой на плоскости.
Если плоскость касания не вертикальна, то это определение означает, что внутри шара поверхность лежит с какой-то одной стороны плоскости, за исключением точки касания. Если поверхность лежит ниже плоскости, то разность координат z для точек плоскости и поверхности с одинаковыми координатами x и y, будет положительной за исключением точки касания, и нулевой в самой этой точке, то есть испытывать в ней минимум. Если поверхность лежит выше плоскости, то разность координат z для точек плоскости и поверхности с одинаковыми координатами x и y, будет отрицательной за исключением точки касания, и нулевой в самой этой точке, то есть испытывать в ней максимум. В любом из этих случаев разность z будет иметь в точке касания нулевой дифференциал, а значит, нулевые производные по x и y.
Если плоскость задаётся уравнением Ax+By+Cz=D, а поверхность - уравнением U(x,y,z)=U0=const, то для плоскости A+Cz′x=0,z′x=−AC, B+Cz′y=0,z′y=−BC; а для поверхности (все производные берутся в точке касания M(x0,y0,z0)) U′x+U′zz′x=0,z′x=−U′xU′z, U′y+U′zz′y=0,z′y=−U′yU′z. Δz′x=−AC+U′xU′z=0,A=CU′xU′z, Δz′y=−BC+U′yU′z=0,B=CU′yU′z. Подставим в уравнение касательной плоскости полученное: CU′xU′zx+CU′yU′zy+Cz=D, разделим на C и умножим на U′z: U′xx+U′yy+U′zz=DCU′z, что означает, что константы A, B и C пропорциональны производным U′x, U′y и U′z.
Найдём константу DCU′z, подставив точку касания U′xx0+U′yy0+U′zz0=DCU′z, и подставим её в уравнение касательной плоскости U′xx+U′yy+U′zz=U′xx0+U′yy0+U′zz0, откуда окончательно получим U′x(x−x0)+U′y(y−y0)+U′z(z−z0)=0. Это уравнение, впрочем, получено в предположении, что U′z≠0.
Задание: получить формулу (1) для случаев U′x≠0 и U′y≠0.
Левая часть очень напоминает скалярное произведение неких векторов. Второй множитель Δ→r=(x−x0y−y0z−z0) вполне понятен: это вектор отклонения от точки касания. Первый же, состоящий из производных функции U, называется градиентом этой функции: gradU=(U′xU′yU′z). Формулу (1) можно записать в виде gradU|M⋅Δ→r=0. Как мы знаем из аналитической геометрии, эта формула соответствует нормальному заданию плоскости, и вектор gradU|M - вектор нормали к этой плоскости. Вектор, нормальный к касательной плоскости к поверхности, восстановленный из точки касания, называется вектором нормали к поверхности (угол между вектором и кривой поверхностью – понятие туманное, поэтому тут требуется отдельное определение).
Итак, гдадиент функции U в точке M – это вектор, нормальный к поверхности U=const, проходящей через эту точку. Проведя через точку касания прямую вдоль вектора нормали к поверхности, можно получить нормальную прямую к этой поверхности, которую сокращённо называют просто нормаль. Параметрически и векторно нормаль задаётся так: →r=→rM+gradU|Mt, а уравнения (тут больше одного) нормали будут такими: x−x0U′x=y−y0U′y=z−z0U′z.
Попадается вектор градиента и в других конструкциях. \emph{Производная функции} U в точке с радиус-вектором →r0 по направлению, заданному единичным вектором →e, определяется так: dUd→e=lim Нетрудно подсчитать, что \frac{dU}{d\vec{e}}=\left.\frac{d}{dt}U\left(\vec{r}_{0}+\vec{e}t\right)\right|_{t=0}=\left.\frac{d}{dt}U\left(x_{0}+e_{x}t,y_{0}+e_{y}t,z_{0}+e_{z}t\right)\right|_{t=0}=U_{x}'e_{x}+U_{y}'e_{y}+U_{z}'e_{z}=\mathrm{grad}\,U\cdot\vec{e}. Если обозначить угол между векторами \mathrm{grad}\,U и \vec{e} как \varphi, то \mathrm{grad}\,U\cdot\vec{e}=\left|\mathrm{grad}\,U\right|\cdot1\cdot\cos\varphi. Наибольшее значение эта величина принимает при \varphi=0, а значит, когда векторы \mathrm{grad}\,U и \vec{e} совпадают по направлению; иными словами, производная функции по направлению её градиента имеет наибольшее значение по сравнению с другими направлениями. Отсюда градиент называется направлением наибыстрейшего возрастания функции U.
Пример: Доказать, что \mathrm{grad}\,\left(uv\right)=\mathrm{grad}\,\left(u\right)v+u\mathrm{grad}\,\left(v\right) \mathrm{grad}\,\left(uv\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}uv\\ \frac{\partial}{\partial y}uv\\ \frac{\partial}{\partial z}uv \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} u_{x}'v+uv_{x}'\\ u_{y}'v+uv_{y}'\\ u_{z}'v+uv_{z}' \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} u_{x}'v\\ u_{y}'v\\ u_{z}'v \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} uv_{x}'\\ uv_{y}'\\ uv_{z}' \end{array}\right)=\mathrm{grad}\,\left(u\right)v+u\mathrm{grad}\,\left(v\right).
Задание: доказать, что 1) \mathrm{grad}\,\left(u+v\right)=\mathrm{grad}\,u+\mathrm{grad}\,v, 2) \mathrm{grad}\,f\left(u\right)=f'\left(u\right)\mathrm{grad}\,u. Из этих свойств вывести, чему равен \mathrm{grad}\,\frac{u}{v} (покомпонентно не считать).
Пример: Вычислить а) \mathrm{grad}\,r б) \mathrm{grad}\,r^{2} в) \mathrm{grad}\,\frac{1}{r} г) \mathrm{grad}\,\ln r, где r=\left|\vec{r}\right|, \vec{r}=\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right).
По теореме Пифагора, r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Я начну с пункта б) – и это будет единственный пункт, вычисленный покопонентно: \mathrm{grad}\,r^{2}=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\ \frac{\partial}{\partial y}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\ \frac{\partial}{\partial z}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2x\\ 2y\\ 2z \end{array}\right)=2\vec{r}. Далее воспользуемся рассмотренными (и, надеюсь, доказанными) выше свойствами. Например, можно рассмотреть r как функцию от r^{2}: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{r^{2}}, а потом – свойством \mathrm{grad}\,f\left(u\right)=f'\left(u\right)\mathrm{grad}\,u: \mathrm{grad}\,r=\mathrm{grad}\,\sqrt{r^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{r^{2}}}\mathrm{grad}\,r^{2}=\frac{1}{2r}2\vec{r}=\frac{\vec{r}}{r}. После этого, пользуясь тем же свойством, уже ничто не мешает вычислить градиент любой функции от r: \mathrm{grad}\,\frac{1}{r}=-\frac{1}{r^{2}}\mathrm{grad}\,r=-\frac{1}{r^{2}}\frac{\vec{r}}{r}=-\frac{\vec{r}}{r^{3}}, \mathrm{grad}\,\ln r=\frac{1}{r}\mathrm{grad}\,r=\frac{1}{r}\frac{\vec{r}}{r}=\frac{\vec{r}}{r^{2}}.
Задание:
- Определить, в каких точках пространства модуль градиента функции u=\ln\frac{1}{R}, где R=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}, равен единице.
- Найти градиенты следующих функций, если
\vec{r}=\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right)\qquad\vec{a},\,\vec{b}=const
- u=f\left(r\right),
- u=\left(\vec{a}\cdot\vec{r}\right),
- u=\left(\vec{a}\cdot\vec{r}\right)\left(\vec{b}\cdot\vec{r}\right),
- u=\left|\left[\vec{a}\times\vec{r}\right]\right|^{2}.
Пример: Найти производную скалярного поля U=xe^{y}+ye^{x}-z^{2} в точке M_{0}\left(3,0,2\right) по направлению от точки M_{0} к точке M_{1}\left(2,-1,3\right). \overrightarrow{M_{0}M_{1}}=\left(\begin{array}{c} 3\\ 0\\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\right),\qquad\vec{e}=\frac{\overrightarrow{M_{0}M_{1}}}{\left|\overrightarrow{M_{0}M_{1}}\right|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\right) \left.\mathrm{grad}\,U\right|_{M_{0}}=\left.\left(\begin{array}{c} e^{y}+ye^{x}\\ xe^{y}+e^{x}\\ 2z \end{array}\right)\right|_{M_{0}}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 3+e^{3}\\ 4 \end{array}\right) \frac{dU}{d\vec{e}}=\mathrm{grad}\,U\cdot\vec{e}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 3+e^{3}\\ 4 \end{array}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1+3+e^{3}-4\right)=\frac{e^{3}}{\sqrt{3}}
Задание:
- Найти производную функции U=x^{2}-y^{2} в точке M\left(1,1\right) в направлении \vec{e}, составляющем угол \alpha=60^{\circ} с положительным направлением оси Ox.
- Найти производную функции U=xyz в точке M_{0}\left(1,-1,1\right) по направлению от точки M_{0} к точке M_{1}\left(2,3,1\right).
- Найти производную функции U=\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}+z в точке M_{0}\left(2,1,1\right) по направлению прямой \frac{x-2}{1}=\frac{z-1}{2}, y=1 в сторону возрастания поля.