Помимо рядов, кусочно-непрерывную и интегрируемую функцию f(x) можно представить в виде интеграла Фурье f(x)=∞∫0[a(λ)cosλx+b(λ)sinλx]dλ,
где
a(λ)=1π∞∫−∞f(ξ)cosλξdξ,b(λ)=1π∞∫−∞f(ξ)sinλξdξ.
Пример: №3887 Представить в виде интеграла Фурье функцию f(x)={sinx,|x|⩽π,0,|x|>π.
Вычислим a(λ). Для этого разобьём область интегрирования
на три части:
a(λ)=1π∞∫−∞f(ξ)cosλξdξ=1π−π∫−∞f(ξ)cosλξdξ+1ππ∫−πf(ξ)cosλξdξ+1π∞∫πf(ξ)cosλξdξ=
и так как подынтегральное выражение нечётно, а область интегрирования
симметрична,
=1ππ∫−πsinξcosλξdξ=0.
Теперь найдём b(λ):
b(λ)=1π∞∫−∞f(ξ)sinλξdξ=1ππ∫−πsinξsinλξdξ=12ππ∫−π[cos(ξ−λξ)−cos(ξ+λξ)]dξ=
=12π[sin(ξ−λξ)ξ−λξ−sin(ξ+λξ)ξ+λξ]|π−π=1π[sin(π−λπ)π−λπ−sin(π+λπ)π+λπ]=1π2[11−λ+11+λ]sin(λπ)=
=2π2sin(λπ)1−λ2.
Подставим полученное в интеграл Фурье
f(x)=∞∫0[a(λ)cosλx+b(λ)sinλx]dλ=2π2∞∫0sin(λπ)1−λ2sin(λx)dλ.
№3890 Представить в виде интеграла Фурье функцию
f(x)=e−α|x|,α>0.
Найдём b(λ). Подынтегральное выражение будет нечётно,
и мы разобьём область интегрирования на две части:
b(λ)=1π∞∫−∞e−α|ξ|sinλξdξ=1π0∫−∞e−α|ξ|sinλξdξ+1π∞∫0e−α|ξ|sinλξdξ=
а потом в первом интеграле заменим ξ=−ζ, а во втором – ξ=ζ
=1π0∫∞e−α|ζ|sinλζdζ+1π∞∫0e−α|ζ|sinλζdζ=0.
Теперь найдём a(λ). Тут поступим как с b(λ),
но получим, в силу чётности, другой результат:
a(λ)=1π∞∫−∞e−α|ξ|cosλξdξ=1π0∫−∞e−α|ξ|cosλξdξ+1π∞∫0e−α|ξ|cosλξdξ=
заменим ξ=−ζ и ξ=ζ
=1π0∫−∞e−α|ζ|cosλζdζ+1π∞∫0e−α|ζ|cosλζdζ=2π∞∫0e−αζcosλζdζ.
Отдельно вычислим интеграл. По частям получим
∞∫0e−αζcosλζdζ=−1α∞∫0(e−αζ)′cosλζdζ=−1αe−αζcosλζ|∞0+1α∞∫0e−αζ(cosλζ)′dζ=1α−λα∞∫0e−αζsinλζdζ=
=1α+λα2∞∫0(e−αζ)′sinλζdζ=1α+λα2e−αζsinλζ|∞0+λα2∞∫0e−αζ(sinλζ)′dζ=1α+λ2α2∞∫0e−αζcosλζdζ,
то есть
∞∫0e−αζcosλζdζ=1α+λ2α2∞∫0e−αζcosλζdζ.
Перенесём слагаемое с интегралом влево и выразим интеграл
α2−λ2α2∞∫0e−αζcosλζdζ=1α,∞∫0e−αζcosλζdζ=αα2−λ2.
Подставим интеграл в a(λ)
a(λ)=2π∞∫0e−αζcosλζdζ=2παα2−λ2.
Теперь подставим полученное в интеграл Фурье:
f(x)=∞∫0[a(λ)cosλx+b(λ)sinλx]dλ=2απ∞∫0cosλxα2−λ2dλ.
Задание: решить самим №3881, 3882, 3888, 3891.
