Образовалось одно неучтённое занятие, а так как формально у нас продолжается курс дифференциальных уравнений, хотелось бы показать ещё одну вещь, которая очень пригодится в следующем семестре на математической физике — уравнения в частных производных, хотя бы линейные и хотя бы первого порядка.
Рассмотрим линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка в случае трёх независимых переменных: Pu′x+Qu′y+Ru′z=0, где P,Q,R зависят от x,y,z.
Геометрический смысл этому уравнению можно придать такой. Составим векторное поле →F=(PQR). Тогда в левой части уравнения скалярно умножается →F на градиент функции u →F⋅∇u=0. То, что произведение равно нулю, означает, что градиент u ортогонален →F, а значит, в каждой точке пространства вектор →F касателен к поверхности уровня функции u, задаваемой уравнением u=const (градиент поверхности уровня ортогонален всегда, почему - только что объяснял первокурсникам).
Если задать функцию u так, чтобы её поверхности уровня состояли из линий поля →F, то её градиент будет ортогонален →F автоматически. Задача о нахождении линий поля, как мы помним, сводится к решению системы dxP=dyQ=dzR. Эта система содержит два уравнения и связывает три переменных, значит, позволяет выразить две переменные через одну, а значит, является системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Её решение, описывающее систему линий поля, обычно записывается в виде {φ1(x,y,z)=C1,φ2(x,y,z)=C2. Каждое из этих уравнений задаёт поверхность, пересечение двух поверхностей даёт линию поля. Но это означает, что каждая поверхность из таких линий как раз и состоит (если только у неё нет участков, не пересекающихся с другой поверхностью ни при каких C); а значит, сами функции φ1 и φ2 являются решениями уравнения (1).
Рассмотрим теперь произвольную дифференцируемую функцию u от двух аргументов, в которую подставим функции φ1 и φ2. Подставим такую функцию u(φ1,φ2) в уравнение (1): Pu′x+Qu′y+Ru′z=P(u′φ1∂φ1∂x+u′φ2∂φ2∂x)+Q(u′φ1∂φ1∂y+u′φ2∂φ2∂y)+R(u′φ1∂φ1∂z+u′φ2∂φ2∂z)= =u′φ1(P∂φ1∂x+Q∂φ1∂y+R∂φ1∂z)+u′φ2(P∂φ2∂x+Q∂φ2∂y+R∂φ2∂z)= =u′φ1⋅0+u′φ2⋅0=0. Таким образом, произвольная u(φ1,φ2) тоже удовлетворяет уравнению (1). Редкий случай, когда удаётся получить решение не столько вычислениями, сколько сочетанием геометрии и философии.
Можно считать, что уравнение u(x,y,z)=const задаёт связь между одной переменной, например, z и независимыми переменными, например, x и y. Тогда из этого уравнения можно получить, что z′x=−u′xu′z,z′y=−u′yu′z. Разделив уравнение (1) на u′z, получим Pu′xu′z+Qu′yu′z+R=0, −Pz′x−Qz′y+R=0, Pz′x+Qz′y=R, линейное неоднородное уравнение на z(x,y). Таким образом, уравнения (2) и (1) описывают семейства поверхностей, но неоднородное использует в обозначениях явную зависимость z от x и y, а однородное – неявную.
Нетрудно обобщить ту же логику на размерность, отличную от трёх: принципиальных отличий в рассуждениях не будет.
Пример: Филиппов, №1170 (x−z)∂u∂x+(y−z)∂u∂y+2z∂u∂z=0 Составим систему (где-то такие уравнения называли характеристическими, но сходу не нашёл где): dxx−z=dyy−z=dz2z Приравняем первое и третье: dxx−z=dz2z,dxdz=x−z2z=12(xz−1), последнее – однородное уравнение, поэтому x=p(z)z p′z+p=12(p−1),p′z=−12p−12,2p′p+1=−1z,2ln|p+1|=−ln|z|+˜C1, ±e˜C1=C1 ln(p+1)2|z|=˜C1,|z(p+1)2|=e˜C1,z(xz+1)2=±e˜C1=C1. Теперь «вычтем» из первого второе (мы так делали, когда искали линии поля на век. анализе) и приравняем третьему: dx−dyx−y=dz2z,dln|x−y|−12dln|z|=0,ln|(x−y)2z|=˜C2, |(x−y)2z|=e˜C2,(x−y)2z=±e˜C2=C2 Итак, {φ1=z(xz+1)2=C1,φ2=(x−y)2z=C2. Тогда U=f(φ1,φ2)=f(z(xz+1)2,(x−y)2z), где f(φ1,φ2) – произвольная дифференцируемая функция двух аргументов.
№1175 x∂z∂x+2y∂z∂y=x2y+z dxx=dy2y=dzx2y+z dxx=dy2y,2ln|x|−ln|y|=˜C1,lnx2|y|=˜C1,x2y=C1 dy2y=dzC1y2+z dzdy−z2y=C12y dz0dy−z02y=0,dz0z0=dy2y,z0=√|y| z=z0z1=√|y|z1 sgnyz12√|y|+√|y|z′1−√|y|z12y=C12y z′1=C12√|y|,z1=C13|y|3/2+C2,z=√|y|z1=√|y|(C13|y|3/2+C2)=x2y3y2+C2√y=13x2y+C2√|y| 3z−x2y3√|y|=C2 {φ1=x2y=C1,φ2=3z−x2y3√|y|=C2. z связан с x и y уравнением U(x2y,3z−x2y3√|y|)=const, которое можно решить относительно второго аргумента: 3z−x2y3√|y|=f(x2y). Так как произвольна функция U, произвольна функция f. Отсюда получим z=√|y|f(x2y)+13x2y Для проверки продифференируем z′x=√|y|f′(x2y)2xy+23xy z′y=sgny2√|y|f(x2y)−√|y|f′(x2y)x2y2+13x2 и подставим в исходное уравнение x∂z∂x+2y∂z∂y=x2y+z полученное: x(√|y|f′(x2y)2xy+23xy)+2y(sgny2√|y|f(x2y)−√|y|f′(x2y)x2y2+13x2)=x2y+√|y|f(x2y)+13x2y 2√|y|x2yf′(x2y)−2√|y|x2yf′(x2y)+2ysgny2√|y|f(x2y)+43x2y=43x2y+√|y|f(x2y) |y|√|y|f(x2y)=√|y|f(x2y) 0=0, что и т.д.
Задание: №1169, 1174.
Пример: №1196 Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению x∂z∂x+y∂z∂y=z−xy, и проходящую через линию x=2,z=y2+1. Составим систему dxx=dyy=dzz−xy и начнём её решать. Диф.уравнения теперь умеют решать все, так что чрезмерных подробностей не привожу. dxx=dyy,dxx−dyy=0,ln|x|−ln|y|=˜C1,xy=C1 dyy=dzz−xy=dzz−C1y2,dzdy=zy−C1y dz0dy=z0y,dz0z0=dyy,z0=y, z=z0z1=yz1 yz′1+z1=z1−C1y,z′1=−C1,z1=−C1y+C2 z=yz1=−C1y2+C2y=−xyy2+C2y=−xy+C2y zy+x=C2 {φ1=xy=C1φ2=zy+x=C2 Если поверхность U(φ1,φ2)=0 проходит через линию x=2, z=y2+1, то на этой линии {φ1=2y=C1φ2=y2+1y+2=C2 y=2C1,(2C1)2+12C1+2=C2, 4C1+C12+2=C2 4C1+C1−2C2+4=0 Так как Ц1 и Ц2 – константы, их связь сохраняется и за пределами заданной линии: 4xy+xy−2(zy+x)+4=0 4yx+xy−2zy−2x+4=0. Проверяем. На линии x=2,z=y2+1 получается 2y+2y−2y2+1y=0. 2y−2y=0. Производные: −4yx2+1y−2z′xy−2=0,z′x=−2y2x2+12−y 4x−xy2−2z′yy+2zy2=0,z′y=2yx−x2y+zy Подставляем в диф. уравнение: x(−2y2x2+12−y)+y(2yx−x2y+zy)=z−xy, −2y2x+x2−xy+2y2x−x2+z=z−xy, −xy+z=z−xy, и всё сходится.
Задание: №1194 и 1195