Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

31.05.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-812 в вт 2.05.2020, 10:10 (Филиппов, №1170, 1175, 1196)

Образовалось одно неучтённое занятие, а так как формально у нас продолжается курс дифференциальных уравнений, хотелось бы показать ещё одну вещь, которая очень пригодится в следующем семестре на математической физике — уравнения в частных производных, хотя бы линейные и хотя бы первого порядка.

Рассмотрим линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка в случае трёх независимых переменных: Pux+Quy+Ruz=0, где P,Q,R зависят от x,y,z.

Геометрический смысл этому уравнению можно придать такой. Составим векторное поле F=(PQR). Тогда в левой части уравнения скалярно умножается F на градиент функции u Fu=0. То, что произведение равно нулю, означает, что градиент u ортогонален F, а значит, в каждой точке пространства вектор F касателен к поверхности уровня функции u, задаваемой уравнением u=const (градиент поверхности уровня ортогонален всегда, почему - только что объяснял первокурсникам).

Если задать функцию u так, чтобы её поверхности уровня состояли из линий поля F, то её градиент будет ортогонален F автоматически. Задача о нахождении линий поля, как мы помним, сводится к решению системы dxP=dyQ=dzR. Эта система содержит два уравнения и связывает три переменных, значит, позволяет выразить две переменные через одну, а значит, является системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Её решение, описывающее систему линий поля, обычно записывается в виде {φ1(x,y,z)=C1,φ2(x,y,z)=C2. Каждое из этих уравнений задаёт поверхность, пересечение двух поверхностей даёт линию поля. Но это означает, что каждая поверхность из таких линий как раз и состоит (если только у неё нет участков, не пересекающихся с другой поверхностью ни при каких C); а значит, сами функции φ1 и φ2 являются решениями уравнения (1).

Рассмотрим теперь произвольную дифференцируемую функцию u от двух аргументов, в которую подставим функции φ1 и φ2. Подставим такую функцию u(φ1,φ2) в уравнение (1): Pux+Quy+Ruz=P(uφ1φ1x+uφ2φ2x)+Q(uφ1φ1y+uφ2φ2y)+R(uφ1φ1z+uφ2φ2z)= =uφ1(Pφ1x+Qφ1y+Rφ1z)+uφ2(Pφ2x+Qφ2y+Rφ2z)= =uφ10+uφ20=0. Таким образом, произвольная u(φ1,φ2) тоже удовлетворяет уравнению (1). Редкий случай, когда удаётся получить решение не столько вычислениями, сколько сочетанием геометрии и философии.

Можно считать, что уравнение u(x,y,z)=const задаёт связь между одной переменной, например, z и независимыми переменными, например, x и y. Тогда из этого уравнения можно получить, что zx=uxuz,zy=uyuz. Разделив уравнение (1) на uz, получим Puxuz+Quyuz+R=0, PzxQzy+R=0, Pzx+Qzy=R, линейное неоднородное уравнение на z(x,y). Таким образом, уравнения (2) и (1) описывают семейства поверхностей, но неоднородное использует в обозначениях явную зависимость z от x и y, а однородное – неявную.

Нетрудно обобщить ту же логику на размерность, отличную от трёх: принципиальных отличий в рассуждениях не будет.

Пример: Филиппов, №1170 (xz)ux+(yz)uy+2zuz=0 Составим систему (где-то такие уравнения называли характеристическими, но сходу не нашёл где): dxxz=dyyz=dz2z Приравняем первое и третье: dxxz=dz2z,dxdz=xz2z=12(xz1), последнее – однородное уравнение, поэтому x=p(z)z pz+p=12(p1),pz=12p12,2pp+1=1z,2ln|p+1|=ln|z|+˜C1, ±e˜C1=C1 ln(p+1)2|z|=˜C1,|z(p+1)2|=e˜C1,z(xz+1)2=±e˜C1=C1. Теперь «вычтем» из первого второе (мы так делали, когда искали линии поля на век. анализе) и приравняем третьему: dxdyxy=dz2z,dln|xy|12dln|z|=0,ln|(xy)2z|=˜C2, |(xy)2z|=e˜C2,(xy)2z=±e˜C2=C2 Итак, {φ1=z(xz+1)2=C1,φ2=(xy)2z=C2. Тогда U=f(φ1,φ2)=f(z(xz+1)2,(xy)2z), где f(φ1,φ2) – произвольная дифференцируемая функция двух аргументов.

№1175 xzx+2yzy=x2y+z dxx=dy2y=dzx2y+z dxx=dy2y,2ln|x|ln|y|=˜C1,lnx2|y|=˜C1,x2y=C1 dy2y=dzC1y2+z dzdyz2y=C12y dz0dyz02y=0,dz0z0=dy2y,z0=|y| z=z0z1=|y|z1 sgnyz12|y|+|y|z1|y|z12y=C12y z1=C12|y|,z1=C13|y|3/2+C2,z=|y|z1=|y|(C13|y|3/2+C2)=x2y3y2+C2y=13x2y+C2|y| 3zx2y3|y|=C2 {φ1=x2y=C1,φ2=3zx2y3|y|=C2. z связан с x и y уравнением U(x2y,3zx2y3|y|)=const, которое можно решить относительно второго аргумента: 3zx2y3|y|=f(x2y). Так как произвольна функция U, произвольна функция f. Отсюда получим z=|y|f(x2y)+13x2y Для проверки продифференируем zx=|y|f(x2y)2xy+23xy zy=sgny2|y|f(x2y)|y|f(x2y)x2y2+13x2 и подставим в исходное уравнение xzx+2yzy=x2y+z полученное: x(|y|f(x2y)2xy+23xy)+2y(sgny2|y|f(x2y)|y|f(x2y)x2y2+13x2)=x2y+|y|f(x2y)+13x2y 2|y|x2yf(x2y)2|y|x2yf(x2y)+2ysgny2|y|f(x2y)+43x2y=43x2y+|y|f(x2y) |y||y|f(x2y)=|y|f(x2y) 0=0, что и т.д.

Задание: №1169, 1174.

Пример: №1196 Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению xzx+yzy=zxy, и проходящую через линию x=2,z=y2+1. Составим систему dxx=dyy=dzzxy и начнём её решать. Диф.уравнения теперь умеют решать все, так что чрезмерных подробностей не привожу. dxx=dyy,dxxdyy=0,ln|x|ln|y|=˜C1,xy=C1 dyy=dzzxy=dzzC1y2,dzdy=zyC1y dz0dy=z0y,dz0z0=dyy,z0=y, z=z0z1=yz1 yz1+z1=z1C1y,z1=C1,z1=C1y+C2 z=yz1=C1y2+C2y=xyy2+C2y=xy+C2y zy+x=C2 {φ1=xy=C1φ2=zy+x=C2 Если поверхность U(φ1,φ2)=0 проходит через линию x=2, z=y2+1, то на этой линии {φ1=2y=C1φ2=y2+1y+2=C2 y=2C1,(2C1)2+12C1+2=C2, 4C1+C12+2=C2 4C1+C12C2+4=0 Так как Ц1 и Ц2 – константы, их связь сохраняется и за пределами заданной линии: 4xy+xy2(zy+x)+4=0 4yx+xy2zy2x+4=0. Проверяем. На линии x=2,z=y2+1 получается 2y+2y2y2+1y=0. 2y2y=0. Производные: 4yx2+1y2zxy2=0,zx=2y2x2+12y 4xxy22zyy+2zy2=0,zy=2yxx2y+zy Подставляем в диф. уравнение: x(2y2x2+12y)+y(2yxx2y+zy)=zxy, 2y2x+x2xy+2y2xx2+z=zxy, xy+z=zxy, и всё сходится.

Задание: №1194 и 1195

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников