Задание: Для разминки решите №96 и 97. Они столь просты, что не требуют пояснений.
В уравнениях типа \[ y''+\frac{\alpha}{x}y'+\beta y=0 \] можно убрать коэффициент $\alpha$ (которого не было в уравнениях Бесселя), совершив замену \[ y=x^{\sigma}z,\qquad y'=x^{\sigma}z'+\sigma x^{\sigma-1}z,\qquad y''=x^{\sigma}z''+2\sigma x^{\sigma-1}z'+\sigma\left(\sigma-1\right)x^{\sigma-2}z: \] тогда \[ \left[x^{\sigma}z''+2\sigma x^{\sigma-1}z'+\sigma\left(\sigma-1\right)x^{\sigma-2}z\right]+\frac{\alpha}{x}\left[x^{\sigma}z'+\sigma x^{\sigma-1}z\right]+\beta x^{\sigma}z=0, \] \[ x^{\sigma}z''+\left[2\sigma x^{\sigma-1}z'+\frac{\alpha}{x}x^{\sigma}z'\right]+\left[\sigma\left(\sigma-1\right)x^{\sigma-2}z+\sigma\frac{\alpha}{x}x^{\sigma-1}z+\beta x^{\sigma}z\right]=0, \] \[ \left.x^{\sigma}z''+\left[2\sigma\frac{1}{x}+\frac{\alpha}{x}\right]x^{\sigma}z'+\left[\sigma\left(\sigma-1\right)\frac{1}{x^{2}}+\frac{\sigma\alpha}{x^{2}}+\beta\right]x^{\sigma}z=0\right|\cdot\frac{1}{x^{\sigma}} \] \[ z''+\frac{2\sigma+\alpha}{x}z'+\left[\frac{\left(\sigma^{2}-\sigma+\sigma\alpha\right)}{x^{2}}+\beta\right]z=0 \] \[ z''+\frac{2\sigma+\alpha}{x}z'+\left[\beta-\frac{\sigma-\sigma^{2}-\sigma\alpha}{x^{2}}\right]z=0. \] $2\sigma+\alpha=1$, $\sigma=\frac{1-\alpha}{2}$, $\sigma-\sigma^{2}-\sigma\alpha=\left(\frac{1-\alpha}{2}\right)^{2}$ \[ z''+\frac{1}{x}z'+\left[\beta-\frac{\left(\frac{1-\alpha}{2}\right)^{2}}{x^{2}}\right]z=0. \] Для того, чтобы свести это уравнение к уравнению Бесселя (с соответствующими решениями) достаточно убрать $\beta$ так же, как в № 96 и 97.
Задание: № 98 и 99.
Функция Бесселя $J_{\nu}\left(x\right)$ обладает счётно-бесконечным множеством нулей $\mu_{k}^{\left(\nu\right)}$: \[ J_{\nu}\left(\mu_{k}^{\left(\nu\right)}\right)=0,\qquad k\in\mathbb{N}, \] где $k$ – номер нуля.
При $\nu > -1$ функции вида $J_{\nu}\left(\frac{\mu_{k}^{\left(\nu\right)}x}{l}\right)$ (функции одного индекса, но с разными нулями в аргументе) обладают свойством ортогональности:
\[ \int\limits _{0}^{l}J_{\nu}\left(\frac{\mu_{k}^{\left(\nu\right)}x}{l}\right)J_{\nu}\left(\frac{\mu_{m}^{\left(\nu\right)}x}{l}\right)xdx=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & m\neq k,\\ \frac{l^{2}}{2}\left[J_{\nu+1}\left(\mu_{k}^{\left(\nu\right)}\right)\right]^{2}, & m=k. \end{array}\right. \] Всякая определённая и непрерывная функция $f\left(x\right)$, обладающая абсолютно сходящимся интегралом $\int\limits _{0}^{l}f\left(x\right)\sqrt{x}dx$, может быть разложена в ряд по функциям Бесселя: \[ f\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}C_{k}J_{\nu}\left(\frac{\mu_{k}^{\left(\nu\right)}x}{l}\right). \] Найдём коэффициенты $C_{k}$ этого разложения: \[ \int\limits _{0}^{l}dxJ_{\nu}\left(\frac{\mu_{m}^{\left(\nu\right)}x}{l}\right)x\cdot\left|f\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}C_{k}J_{\nu}\left(\frac{\mu_{k}^{\left(\nu\right)}x}{l}\right)\right., \] в правой части воспользуемся ортогональностью: \[ \int\limits _{0}^{l}f\left(x\right)J_{\nu}\left(\frac{\mu_{m}^{\left(\nu\right)}x}{l}\right)xdx=\sum_{k=1}^{\infty}C_{k}\int\limits _{0}^{l}J_{\nu}\left(\frac{\mu_{m}^{\left(\nu\right)}x}{l}\right)J_{\nu}\left(\frac{\mu_{k}^{\left(\nu\right)}x}{l}\right)xdx=\sum_{k=1}^{\infty}C_{k}\delta_{mk}\frac{l^{2}}{2}\left[J_{\nu+1}\left(\mu_{k}^{\left(\nu\right)}\right)\right]^{2}=C_{m}\frac{l^{2}}{2}\left[J_{\nu+1}\left(\mu_{m}^{\left(\nu\right)}\right)\right]^{2}, \] откуда окончательно ($m=k$, $x=\xi$) \[ C_{k}=\frac{2}{l^{2}\left[J_{\nu+1}\left(\mu_{k}^{\left(\nu\right)}\right)\right]^{2}}\int\limits _{0}^{l}f\left(\xi\right)J_{\nu}\left(\frac{\mu_{k}^{\left(\nu\right)}\xi}{l}\right)\xi d\xi. \] № 100. Разложить функцию $f\left(x\right)=1$ в ряд по функциям Бесселя нулевого порядка ($\nu=0$).
Общий вид этого разложения таков: \[ 1=\sum_{k=1}^{\infty}C_{k}J_{0}\left(\frac{\mu_{k}^{\left(0\right)}x}{l}\right). \] Найдём коэффициенты \[ C_{k}=\frac{2}{l^{2}\left[J_{1}\left(\mu_{k}^{\left(0\right)}\right)\right]^{2}}\int\limits _{0}^{l}1J_{0}\left(\frac{\mu_{k}^{\left(0\right)}\xi}{l}\right)\xi d\xi= \] Заменим $\frac{\mu_{k}^{\left(0\right)}\xi}{l}=\zeta$, $\xi=\frac{l\zeta}{\mu_{k}^{\left(0\right)}}$ \[ =\frac{2}{l^{2}\left[J_{1}\left(\mu_{k}^{\left(0\right)}\right)\right]^{2}}\int\limits _{0}^{\mu_{k}^{\left(0\right)}}J_{0}\left(\zeta\right)\frac{l\zeta}{\mu_{k}^{\left(0\right)}}d\frac{l\zeta}{\mu_{k}^{\left(0\right)}}=\frac{2}{l^{2}\left[J_{1}\left(\mu_{k}^{\left(0\right)}\right)\right]^{2}}\frac{l^{2}}{\left(\mu_{k}^{\left(0\right)}\right)^{2}}\int\limits _{0}^{\mu_{k}^{\left(0\right)}}J_{0}\left(\zeta\right)\zeta d\zeta=\frac{2}{\left[J_{1}\left(\mu_{k}^{\left(0\right)}\right)\mu_{k}^{\left(0\right)}\right]^{2}}\int\limits _{0}^{\mu_{k}^{\left(0\right)}}J_{0}\left(\zeta\right)\zeta d\zeta. \] На прошлом занятии доказывалась формула \[ \frac{\nu}{x}J_{\nu}\left(x\right)+J_{\nu}'\left(x\right)=J_{\nu-1}\left(x\right). \] При $\nu=1$ \[ \frac{1}{x}J_{1}\left(x\right)+J_{1}'\left(x\right)=J_{0}\left(x\right). \] Заменив отсюда $J_{0}\left(x\right)$ в последнем интеграле, разложим его на слагаемые и во втором выполним интегрирование по частям: \[ \int\limits _{0}^{\mu_{k}^{\left(0\right)}}J_{0}\left(\zeta\right)\zeta d\zeta=\int\limits _{0}^{\mu_{k}^{\left(0\right)}}\left[\frac{1}{\zeta}J_{1}\left(\zeta\right)+J_{1}'\left(\zeta\right)\right]\zeta d\zeta=\int\limits _{0}^{\mu_{k}^{\left(0\right)}}J_{1}\left(\zeta\right)d\zeta+\int\limits _{0}^{\mu_{k}^{\left(0\right)}}J_{1}'\left(\zeta\right)\zeta d\zeta=\int\limits _{0}^{\mu_{k}^{\left(0\right)}}J_{1}\left(\zeta\right)d\zeta+\left.J_{1}\left(\zeta\right)\zeta\right|_{0}^{\mu_{k}^{\left(0\right)}}-\int\limits _{0}^{\mu_{k}^{\left(0\right)}}J_{1}\left(\zeta\right)d\zeta=J_{1}\left(\mu_{k}^{\left(0\right)}\right)\mu_{k}^{\left(0\right)}. \] Тогда \[ C_{k}=\frac{2}{\left[J_{1}\left(\mu_{k}^{\left(0\right)}\right)\mu_{k}^{\left(0\right)}\right]^{2}}\int\limits _{0}^{\mu_{k}^{\left(0\right)}}J_{0}\left(\zeta\right)\zeta d\zeta=\frac{2}{\left[J_{1}\left(\mu_{k}^{\left(0\right)}\right)\mu_{k}^{\left(0\right)}\right]^{2}}J_{1}\left(\mu_{k}^{\left(0\right)}\right)\mu_{k}^{\left(0\right)}=\frac{2}{J_{1}\left(\mu_{k}^{\left(0\right)}\right)\mu_{k}^{\left(0\right)}}, \] откуда приходим к искомому ряду для единицы: \[ 1=\sum_{k=1}^{\infty}C_{k}J_{0}\left(\frac{\mu_{k}^{\left(0\right)}x}{l}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{J_{1}\left(\mu_{k}^{\left(0\right)}\right)\mu_{k}^{\left(0\right)}}J_{0}\left(\frac{\mu_{k}^{\left(0\right)}x}{l}\right). \]
Задание: № 101 – 103.
