Здравствуйте. Материал для освоения вот, я на связи жду вопросов. Д/з в честь прошедшей к/р не проверяется.
Криволинейный интеграл первого рода функции f(x,y,z) по кривой C (в пространстве или на плоскости) вычисляется по формуле ∫Cf(x,y,z)ds=t2∫t1f(x(t),y(t),z(t))√˙x2+˙y2+˙z2dt, где ˙x≡dxdt, ˙y≡dydt, ˙z≡dzdt, и при t1⩽t⩽t2 точка A(x(t),y(t),z(t)) пробегает кривую C один раз.
Демидович №4224. Выислить интеграл ∫Cxyds, где C – дуга гиперболы: x=acht, y=asht, 0⩽t⩽t0.
Для этого номера придётся вспомнить несколько свойств гиперболических функций. Шинус двойного угла раскладывается аналогично синусу: 2shtcht=2et−e−t2et+e−t2=2e2t−e−2t4=e2t−e−2t2=sh2t. Значит, подынтегральное выражение выражается через t так: xy=a2shtcht=a22sh2t. Производные координат будут такими: ˙x=asht,˙y=acht, а так как ch2t=(et+e−t2)2=e2t+2+e−2t4, sh2t=e2t−2+e−2t4, sh2t+ch2t=e2t+e−2t2=ch2t, корень записывается через t так: √˙x2+˙y2+˙z2=√a2sh2t+a2ch2t=|a|√sh2t+ch2t=|a|√ch2t. Пределы изменения для t даны в задаче. Вычисляем интеграл: ∫Cxyds=t0∫0a22sh2t⋅|a|√ch2tdt=|a3|4t0∫0√ch2t(ch2t)′dt=|a3|423(ch2t)3/2|t00=|a3|6[(ch2t0)3/2−1].
Задание: № 4222, 4223, 4231 (этот уже трёхмерный, но решается так же), 4239.
Криволинейный интеграл второго рода функции P(x,y,z) по кривой C (в пространстве или на плоскости) берётся по одной из координат и вычисляется, в случае координаты x, по формуле ∫CPdx=t2∫t1P(x(t),y(t),z(t))˙xdt Обычно интегралы второго рода вычисляются от компонент вектора →F(x,y,z)=(PQR), причём каждая компонента интегрируется по своей координате: ∫C(Pdx+Qdy+Rdz)=t2∫t1[P(x(t),y(t),z(t))˙x+Q(x(t),y(t),z(t))˙y+R(x(t),y(t),z(t))˙z]dt. Результат такого интегрирования уже не зависит от выбора декартовых координат. На плоскости интегрируются векторы с двумя компонентами.
Демидович №4252 Вычислить интеграл ∮C(x+y)dx+(x−y)dy, где C – эллипс x2a2+y2b2=1, пробегаемый против часовой стрелки.
Параметризуем эллипс так: {x=acosty=bsint,0⩽t⩽2π В данной задаче {P=(x+y)Q=(x−y),{˙x=−asint˙y=bcost. Тогда ∮C(x+y)dx+(x−y)dy=2π∫0[−(acost+bsint)asint+(acost−bsint)bcost]dt= =2π∫0[−a2sintcost−basin2t+abcos2t−b2costsint]dt= =2π∫0[ab(cos2t−sin2t)−(a2+b2)sintcost]dt= =2π∫0[abcos2t−a2+b22sin2t]dt=0. Задание: № 4250, 4253, 4254, 4279.