Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

07.12.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-912 в 8:30 в пн. 7.12.2020 (Демидович № 4224, 4252)

Здравствуйте. Материал для освоения вот, я на связи жду вопросов. Д/з в честь прошедшей к/р не проверяется.

Криволинейный интеграл первого рода функции f(x,y,z) по кривой C (в пространстве или на плоскости) вычисляется по формуле Cf(x,y,z)ds=t2t1f(x(t),y(t),z(t))˙x2+˙y2+˙z2dt, где ˙xdxdt, ˙ydydt, ˙zdzdt, и при t1tt2 точка A(x(t),y(t),z(t)) пробегает кривую C один раз.

Демидович №4224. Выислить интеграл Cxyds, где C – дуга гиперболы: x=acht, y=asht, 0tt0.

Для этого номера придётся вспомнить несколько свойств гиперболических функций. Шинус двойного угла раскладывается аналогично синусу: 2shtcht=2etet2et+et2=2e2te2t4=e2te2t2=sh2t. Значит, подынтегральное выражение выражается через t так: xy=a2shtcht=a22sh2t. Производные координат будут такими: ˙x=asht,˙y=acht, а так как ch2t=(et+et2)2=e2t+2+e2t4, sh2t=e2t2+e2t4, sh2t+ch2t=e2t+e2t2=ch2t, корень записывается через t так: ˙x2+˙y2+˙z2=a2sh2t+a2ch2t=|a|sh2t+ch2t=|a|ch2t. Пределы изменения для t даны в задаче. Вычисляем интеграл: Cxyds=t00a22sh2t|a|ch2tdt=|a3|4t00ch2t(ch2t)dt=|a3|423(ch2t)3/2|t00=|a3|6[(ch2t0)3/21].

Задание: № 4222, 4223, 4231 (этот уже трёхмерный, но решается так же), 4239.

Криволинейный интеграл второго рода функции P(x,y,z) по кривой C (в пространстве или на плоскости) берётся по одной из координат и вычисляется, в случае координаты x, по формуле CPdx=t2t1P(x(t),y(t),z(t))˙xdt Обычно интегралы второго рода вычисляются от компонент вектора F(x,y,z)=(PQR), причём каждая компонента интегрируется по своей координате: C(Pdx+Qdy+Rdz)=t2t1[P(x(t),y(t),z(t))˙x+Q(x(t),y(t),z(t))˙y+R(x(t),y(t),z(t))˙z]dt. Результат такого интегрирования уже не зависит от выбора декартовых координат. На плоскости интегрируются векторы с двумя компонентами.

Демидович №4252 Вычислить интеграл C(x+y)dx+(xy)dy, где C – эллипс x2a2+y2b2=1, пробегаемый против часовой стрелки.

Параметризуем эллипс так: {x=acosty=bsint,0t2π В данной задаче {P=(x+y)Q=(xy),{˙x=asint˙y=bcost. Тогда C(x+y)dx+(xy)dy=2π0[(acost+bsint)asint+(acostbsint)bcost]dt= =2π0[a2sintcostbasin2t+abcos2tb2costsint]dt= =2π0[ab(cos2tsin2t)(a2+b2)sintcost]dt= =2π0[abcos2ta2+b22sin2t]dt=0. Задание: № 4250, 4253, 4254, 4279.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников