Полиномы Лежандра находятся по формуле Родрига: \[ P_{m}\left(x\right)=\frac{1}{2^{m}m!}\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left(1-x^{2}\right)^{m} \]
и удовлетворяют условию ортогональности на отрезке $\left[-1,1\right]$: \[ \int\limits _{-1}^{1}P_{n}\left(x\right)P_{k}\left(x\right)dx=\delta_{nk}\frac{2}{2k+1} \] № 105: Вычислить $P_{0}\left(x\right)$, $P_{1}\left(x\right)$, $P_{2}\left(x\right)$. \[ P_{0}\left(x\right)=1,\qquad P_{1}\left(x\right)=\frac{1}{2^{1}1!}\frac{d}{dx}\left(1-x^{2}\right)=-x, \] \[ P_{2}\left(x\right)=\frac{1}{2^{2}2!}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(1-x^{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(1-2x^{2}+x^{4}\right)=\frac{1}{8}\left(-4+12x^{2}\right)=\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{2} \] По полиномам Лежандра можно произвести разложение \[ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}C_{n}P_{n}\left(x\right), \] где коэффициенты $C_{n}$ находятся так. Обе части уравнения выше умножаются на $P_{k}\left(x\right)$ и интегрируются по $x$ на отрезке $\left[-1,1\right]$ с использованием ортогональности: \[ \int\limits _{-1}^{1}f\left(x\right)P_{k}\left(x\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}C_{n}\int\limits _{-1}^{1}P_{n}\left(x\right)P_{k}\left(x\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}C_{n}\delta_{nk}\frac{2}{2k+1}=C_{k}\frac{2}{2k+1}, \] откуда \[ C_{k}=\frac{2k+1}{2}\int\limits _{-1}^{1}f\left(x\right)P_{k}\left(x\right)dx. \] В случае полиномов, впрочем, без интегрирования можно обойтись. Например, по найденному выше \[ x^{2}-x+1=\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)-x+1=\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{2}\right)-x+\frac{4}{3}=\frac{2}{3}P_{2}\left(x\right)+P_{1}\left(x\right)+\frac{4}{3}P_{0}\left(x\right) \] Задание: разложить по полиномам Лежандра функцию $x^{3}$.
№ 108 разложить по полиномам Лежандра функцию $f\left(x\right)=\mathrm{sgn}\,x$ \[ C_{k}=\frac{2k+1}{2}\int\limits _{-1}^{1}\mathrm{sgn}\left(x\right)P_{k}\left(x\right)dx=\frac{2k+1}{2}\left[\int\limits _{-1}^{0}\left(-1\right)P_{k}\left(x\right)dx+\int\limits _{0}^{1}P_{k}\left(x\right)dx\right]= \] по формуле Родрига \[ =\frac{2k+1}{2}\left[\int\limits _{0}^{1}P_{k}\left(x\right)dx-\int\limits _{-1}^{0}P_{k}\left(x\right)dx\right]=\frac{2k+1}{2}\frac{1}{2^{k}k!}\left[\int\limits _{0}^{1}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(1-x^{2}\right)^{k}dx-\int\limits _{-1}^{0}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(1-x^{2}\right)^{k}dx\right]= \] \[ =\frac{2k+1}{2^{k+1}k!}\left[\left.\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left(1-x^{2}\right)^{k}\right|_{0}^{1}-\left.\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left(1-x^{2}\right)^{k}\right|_{-1}^{0}\right]. \] Но так как \[ \frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left(1-x^{2}\right)^{k}=\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left[\left(1-x\right)^{k}\left(1+x\right)^{k}\right]=\sum_{j=0}^{k-1}C_{k-1}^{j}\frac{d^{k-1-j}}{dx^{k-1-j}}\left(1-x\right)^{k}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\left(1+x\right)^{k}= \] \[ =\sum_{j=0}^{k-1}C_{k-1}^{j}\frac{k!}{\left(j+1\right)!}\left(1-x\right)^{j+1}\frac{k!}{\left(k-j\right)!}\left(1+x\right)^{k-j}, \] с учётом $j < k$, $j+1 > 0$ имеем \[ \left.\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left(1-x^{2}\right)^{k}\right|_{x=1}=\left.\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left(1-x^{2}\right)^{k}\right|_{x=-1}=0; \] откуда \[ C_{k}=\frac{2k+1}{2^{k+1}k!}\left[\left.\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left(1-x^{2}\right)^{k}\right|_{0}^{1}-\left.\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left(1-x^{2}\right)^{k}\right|_{-1}^{0}\right]=-2\frac{2k+1}{2^{k+1}k!}\left.\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left(1-x^{2}\right)^{k}\right|_{x=0}= \] \[ =-2\frac{2k+1}{2^{k+1}k!}\left.\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C_{k}^{j}x^{2j}\right|_{x=0} \] (тут $C_{k}^{j}$ – уже биномиальные коэффициенты, не путайте с искомыми $C_{k}$). Так как $x$ находится в чётной степени, дальнейшие результаты зависят от чётности номера $k$: \[ C_{2n}=0,\qquad C_{2n+1}=-2\frac{4n+3}{2^{2n+2}\left(2n+1\right)!}\left.\frac{d^{2n}}{dx^{2n}}\sum_{j=0}^{2n+1}\left(-1\right)^{2n+1-j}C_{2n+1}^{j}x^{2j}\right|_{x=0}=-2\frac{4n+3}{2^{2n+2}\left(2n+1\right)!}\left(-1\right)^{2n+1-n}C_{2n+1}^{n}\left(2n\right)!= \] \[ =\left(-1\right)^{n}\frac{4n+3}{2^{2n+1}\left(2n+1\right)!}\frac{\left(2n+1\right)!}{n!\left(n+1\right)!}\left(2n\right)!=\left(-1\right)^{n}\frac{4n+3}{2^{2n+1}}\frac{\left(2n\right)!}{n!\left(n+1\right)!}. \] Например, \[ C_{1}=C_{2\cdot0+1}=\frac{3}{2}, \] \[ C_{3}=C_{2\cdot1+1}=\left(-1\right)\frac{4+3}{2^{2+1}}\frac{\left(2\right)!}{\left(1+1\right)!}=-\frac{7}{2^{3}}=-\frac{7}{8}, \] \[ C_{5}=C_{2\cdot2+1}=\left(-1\right)^{2}\frac{4\cdot2+3}{2^{2\cdot2+1}}\frac{\left(2\cdot2\right)!}{2!\left(2+1\right)!}=\frac{11}{2^{5}}\frac{4}{2}=\frac{11}{16}; \] (что почти совпадает с ответом в методичке), и \[ C_{7}=C_{2\cdot3+1}=\left(-1\right)^{3}\frac{15}{2^{7}}\frac{\left(6\right)!}{3!\left(4\right)!}=-\frac{15}{2^{7}}\cdot5=-\frac{75}{128}, \] что позволяет записать \[ f\left(x\right)=\mathrm{sgn}\,x=\frac{3}{2}P_{1}\left(x\right)-\frac{7}{8}P_{3}\left(x\right)+\frac{11}{16}P_{5}\left(x\right)-\frac{75}{128}P_{7}\left(x\right)+\dots \] Задание: №109
Присоединённые функции Лежандра находятся по формуле \[ P_{n}^{m}\left(x\right)=\left(1-x^{2}\right)^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{n}\left(x\right). \]
Например, из № 113 найдём \[ P_{3}^{2}\left(x\right)=\left(1-x^{2}\right)^{2/2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}P_{3}\left(x\right). \] Нужный для этого полином Лежандра вычислим \[ P_{3}\left(x\right)=\frac{1}{2^{3}3!}\frac{d^{3}}{dx^{3}}\left(1-x^{2}\right)^{3}=\frac{1}{2^{3}3!}\frac{d^{3}}{dx^{3}}\left(1-3x^{2}+3x^{4}-x^{6}\right)=\frac{1}{2^{3}3!}\left(3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot x-6\cdot5\cdot4\cdot x^{3}\right)=\frac{1}{2}\left(3x-5x^{3}\right), \] продифференцируем \[ \frac{d^{2}}{dx^{2}}P_{3}\left(x\right)=\frac{d^{2}}{dx^{2}}\frac{1}{2}\left(3x-5x^{3}\right)=\frac{1}{2}\left(-5\cdot3\cdot2\cdot x\right)=-15x, \] и умножим на что полагается: \[ P_{3}^{2}\left(x\right)=\left(1-x^{2}\right)\frac{d^{2}}{dx^{2}}P_{3}\left(x\right)=\left(1-x^{2}\right)\left(-15x\right)=-15x\left(1-x^{2}\right). \]
Задание: остальной № 113.
Задание: Используя формулы для ортогональности присоединённых функций Лежандра \[ \int\limits _{-1}^{1}P_{n}^{m}\left(x\right)P_{k}^{m}\left(x\right)dx=\delta_{nk}\frac{2}{2k+1}\frac{\left(k+m\right)!}{\left(k-m\right)!} \] выполнить разложения в № 110, 111.
