Processing math: 100%

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

09.12.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-812 в 14:00 в ср. 9.12.2020 (Даишев, Никитин № 105, 108, 113)

Полиномы Лежандра находятся по формуле Родрига: Pm(x)=12mm!dmdxm(1x2)m

и удовлетворяют условию ортогональности на отрезке [1,1]: 11Pn(x)Pk(x)dx=δnk22k+1

№ 105: Вычислить P0(x), P1(x), P2(x). P0(x)=1,P1(x)=1211!ddx(1x2)=x,
P2(x)=1222!d2dx2(1x2)2=18d2dx2(12x2+x4)=18(4+12x2)=32x212
По полиномам Лежандра можно произвести разложение f(x)=n=0CnPn(x),
где коэффициенты Cn находятся так. Обе части уравнения выше умножаются на Pk(x) и интегрируются по x на отрезке [1,1] с использованием ортогональности: 11f(x)Pk(x)dx=n=0Cn11Pn(x)Pk(x)dx=n=0Cnδnk22k+1=Ck22k+1,
откуда Ck=2k+1211f(x)Pk(x)dx.
В случае полиномов, впрочем, без интегрирования можно обойтись. Например, по найденному выше x2x+1=23(32x212+12)x+1=23(32x212)x+43=23P2(x)+P1(x)+43P0(x)
Задание: разложить по полиномам Лежандра функцию x3.

№ 108 разложить по полиномам Лежандра функцию f(x)=sgnx Ck=2k+1211sgn(x)Pk(x)dx=2k+12[01(1)Pk(x)dx+10Pk(x)dx]=

по формуле Родрига =2k+12[10Pk(x)dx01Pk(x)dx]=2k+1212kk![10dkdxk(1x2)kdx01dkdxk(1x2)kdx]=
=2k+12k+1k![dk1dxk1(1x2)k|10dk1dxk1(1x2)k|01].
Но так как dk1dxk1(1x2)k=dk1dxk1[(1x)k(1+x)k]=k1j=0Cjk1dk1jdxk1j(1x)kdjdxj(1+x)k=
=k1j=0Cjk1k!(j+1)!(1x)j+1k!(kj)!(1+x)kj,
с учётом j<k, j+1>0 имеем dk1dxk1(1x2)k|x=1=dk1dxk1(1x2)k|x=1=0;
откуда Ck=2k+12k+1k![dk1dxk1(1x2)k|10dk1dxk1(1x2)k|01]=22k+12k+1k!dk1dxk1(1x2)k|x=0=
=22k+12k+1k!dk1dxk1kj=0(1)kjCjkx2j|x=0
(тут Cjk – уже биномиальные коэффициенты, не путайте с искомыми Ck). Так как x находится в чётной степени, дальнейшие результаты зависят от чётности номера k: C2n=0,C2n+1=24n+322n+2(2n+1)!d2ndx2n2n+1j=0(1)2n+1jCj2n+1x2j|x=0=24n+322n+2(2n+1)!(1)2n+1nCn2n+1(2n)!=
=(1)n4n+322n+1(2n+1)!(2n+1)!n!(n+1)!(2n)!=(1)n4n+322n+1(2n)!n!(n+1)!.
Например, C1=C20+1=32,
C3=C21+1=(1)4+322+1(2)!(1+1)!=723=78,
C5=C22+1=(1)242+3222+1(22)!2!(2+1)!=112542=1116;
(что почти совпадает с ответом в методичке), и C7=C23+1=(1)31527(6)!3!(4)!=15275=75128,
что позволяет записать f(x)=sgnx=32P1(x)78P3(x)+1116P5(x)75128P7(x)+
Задание: №109

Присоединённые функции Лежандра находятся по формуле Pmn(x)=(1x2)m/2dmdxmPn(x).

Например, из № 113 найдём P23(x)=(1x2)2/2d2dx2P3(x).

Нужный для этого полином Лежандра вычислим P3(x)=1233!d3dx3(1x2)3=1233!d3dx3(13x2+3x4x6)=1233!(3432x654x3)=12(3x5x3),
продифференцируем d2dx2P3(x)=d2dx212(3x5x3)=12(532x)=15x,
и умножим на что полагается: P23(x)=(1x2)d2dx2P3(x)=(1x2)(15x)=15x(1x2).

Задание: остальной № 113.

Задание: Используя формулы для ортогональности присоединённых функций Лежандра 11Pmn(x)Pmk(x)dx=δnk22k+1(k+m)!(km)!

выполнить разложения в № 110, 111.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников