Полиномы Лежандра находятся по формуле Родрига: Pm(x)=12mm!dmdxm(1−x2)m
и удовлетворяют условию ортогональности на отрезке [−1,1]: 1∫−1Pn(x)Pk(x)dx=δnk22k+1
№ 105: Вычислить P0(x), P1(x), P2(x).
P0(x)=1,P1(x)=1211!ddx(1−x2)=−x,
P2(x)=1222!d2dx2(1−x2)2=18d2dx2(1−2x2+x4)=18(−4+12x2)=32x2−12
По полиномам Лежандра можно произвести разложение
f(x)=∞∑n=0CnPn(x),
где коэффициенты Cn находятся так. Обе части уравнения выше
умножаются на Pk(x) и интегрируются по x на отрезке
[−1,1] с использованием ортогональности:
1∫−1f(x)Pk(x)dx=∞∑n=0Cn1∫−1Pn(x)Pk(x)dx=∞∑n=0Cnδnk22k+1=Ck22k+1,
откуда
Ck=2k+121∫−1f(x)Pk(x)dx.
В случае полиномов, впрочем, без интегрирования можно обойтись. Например,
по найденному выше
x2−x+1=23(32x2−12+12)−x+1=23(32x2−12)−x+43=23P2(x)+P1(x)+43P0(x)
Задание: разложить по полиномам Лежандра функцию x3.
№ 108 разложить по полиномам Лежандра функцию f(x)=sgnx Ck=2k+121∫−1sgn(x)Pk(x)dx=2k+12[0∫−1(−1)Pk(x)dx+1∫0Pk(x)dx]=
по формуле Родрига
=2k+12[1∫0Pk(x)dx−0∫−1Pk(x)dx]=2k+1212kk![1∫0dkdxk(1−x2)kdx−0∫−1dkdxk(1−x2)kdx]=
=2k+12k+1k![dk−1dxk−1(1−x2)k|10−dk−1dxk−1(1−x2)k|0−1].
Но так как
dk−1dxk−1(1−x2)k=dk−1dxk−1[(1−x)k(1+x)k]=k−1∑j=0Cjk−1dk−1−jdxk−1−j(1−x)kdjdxj(1+x)k=
=k−1∑j=0Cjk−1k!(j+1)!(1−x)j+1k!(k−j)!(1+x)k−j,
с учётом j<k, j+1>0 имеем
dk−1dxk−1(1−x2)k|x=1=dk−1dxk−1(1−x2)k|x=−1=0;
откуда
Ck=2k+12k+1k![dk−1dxk−1(1−x2)k|10−dk−1dxk−1(1−x2)k|0−1]=−22k+12k+1k!dk−1dxk−1(1−x2)k|x=0=
=−22k+12k+1k!dk−1dxk−1k∑j=0(−1)k−jCjkx2j|x=0
(тут Cjk – уже биномиальные коэффициенты, не путайте с искомыми
Ck). Так как x находится в чётной степени, дальнейшие результаты
зависят от чётности номера k:
C2n=0,C2n+1=−24n+322n+2(2n+1)!d2ndx2n2n+1∑j=0(−1)2n+1−jCj2n+1x2j|x=0=−24n+322n+2(2n+1)!(−1)2n+1−nCn2n+1(2n)!=
=(−1)n4n+322n+1(2n+1)!(2n+1)!n!(n+1)!(2n)!=(−1)n4n+322n+1(2n)!n!(n+1)!.
Например,
C1=C2⋅0+1=32,
C3=C2⋅1+1=(−1)4+322+1(2)!(1+1)!=−723=−78,
C5=C2⋅2+1=(−1)24⋅2+322⋅2+1(2⋅2)!2!(2+1)!=112542=1116;
(что почти совпадает с ответом в методичке), и
C7=C2⋅3+1=(−1)31527(6)!3!(4)!=−1527⋅5=−75128,
что позволяет записать
f(x)=sgnx=32P1(x)−78P3(x)+1116P5(x)−75128P7(x)+…
Задание: №109
Присоединённые функции Лежандра находятся по формуле Pmn(x)=(1−x2)m/2dmdxmPn(x).
Например, из № 113 найдём P23(x)=(1−x2)2/2d2dx2P3(x).
Нужный для этого полином Лежандра вычислим
P3(x)=1233!d3dx3(1−x2)3=1233!d3dx3(1−3x2+3x4−x6)=1233!(3⋅4⋅3⋅2⋅x−6⋅5⋅4⋅x3)=12(3x−5x3),
продифференцируем
d2dx2P3(x)=d2dx212(3x−5x3)=12(−5⋅3⋅2⋅x)=−15x,
и умножим на что полагается:
P23(x)=(1−x2)d2dx2P3(x)=(1−x2)(−15x)=−15x(1−x2).
Задание: остальной № 113.
Задание: Используя формулы для ортогональности присоединённых функций Лежандра 1∫−1Pmn(x)Pmk(x)dx=δnk22k+1(k+m)!(k−m)!
выполнить разложения в № 110, 111.