Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Уравнения вида $$\begin{equation} y'=f\left(\frac{ax+by+c}{px+qy+r}\right)\label{eq:ob_odn} \end{equation}$$

легко сводились бы к однороднородным (рассмотренным на прошлом занятии), если $c=r=0$: $$y'=f\left(\frac{ax+by}{px+qy}\right)=f\left(\frac{a+b\frac{y}{x}}{p+q\frac{y}{x}}\right)=g\left(\frac{y}{x}\right)$$ Но когда это условие не выполняется, можно справиться с этим так. Решим систему $$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} ax_{0}+by_{0}+c=0,\\ px_{0}+qy_{0}+r=0. \end{array}\right.\label{sys} \end{equation}$$ Решения этой системы $x_{0}$ и $y_{0}$ зависят от постоянных параметров системы, и следовательно, сами постоянны. Если это удастся, то заменим: $$\left\{ \begin{array}{c} x=x_{1}+x_{0},\\ y=y_{1}+y_{0}; \end{array}\right.$$ где $x_{1}$ и $y_{1}$ – новые переменные. Тогда производная преобразуется так $$y'=\frac{d}{dx}\left(y_{1}+y_{0}\right)=\frac{d}{dx}y_{1}=\frac{dy_{1}}{dx_{1}}\frac{dx_{1}}{dx}=\frac{dy_{1}}{dx_{1}}\frac{d}{dx}\left(x-x_{0}\right)=\frac{dy_{1}}{dx_{1}},$$ содержимое же функции в правой части – так $$\frac{ax+by+c}{px+qy+r}=\frac{a\left(x_{1}+x_{0}\right)+b\left(y_{1}+y_{0}\right)+c}{p\left(x_{1}+x_{0}\right)+q\left(y_{1}+y_{0}\right)+r}=\frac{ax_{1}+by_{1}+ax_{0}+by_{0}+c}{px_{1}+qy_{1}+px_{0}+qy_{0}+r}=$$ что в силу того, что $x_{0}$ и $y_{0}$ суть решения системы ($\ref{sys}$), $$=\frac{ax_{1}+by_{1}}{px_{1}+qy_{1}}.$$ И уравнение ($\ref{eq:ob_odn}$) сведётся к уравнению $$\frac{dy_{1}}{dx_{1}}=f\left(\frac{ax_{1}+by_{1}}{px_{1}+qy_{1}}\right),$$ которое сводится к однородному как показано выше, делением числителя и знаменателя на $x_{1}$.

Например, №113: $$\left(2x-4y+6\right)dx+\left(x+y-3\right)dy=0,$$ $$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x-4y+6}{x+y-3},$$ $$\left\{ \begin{array}{c} 2x_{0}-4y_{0}+6=0,\\ x_{0}+y_{0}-3=0. \end{array}\right.$$ Нетрудно получить, что $x_{0}=1$, $y_{0}=2$. Тогда заменим $x=x_{1}+1$, $y=y_{1}+2$: $$\frac{dy_{1}}{dx_{1}}=-\frac{2x_{1}-4y_{1}}{x_{1}+y_{1}}=-\frac{2-4\frac{y_{1}}{x_{1}}}{1+\frac{y_{1}}{x_{1}}}.$$ В последнем же уравнении произведём замену $y_{1}=ux_{1}$: $$u'x_{1}+u=-\frac{2-4u}{1+u}$$ и разделим перменные $$u'x_{1}=-\frac{2-4u}{1+u}-u=-\frac{2-4u}{1+u}-\frac{u+u^{2}}{1+u}=-\frac{u^{2}-3u+2}{1+u}=-\frac{\left(u-1\right)\left(u-2\right)}{u+1}$$ $$u'\frac{u+1}{\left(u-1\right)\left(u-2\right)}=-\frac{1}{x_{1}}$$ Разложив дробь в левой части на элементарные слагаемые, получим $$\frac{u+1}{\left(u-1\right)\left(u-2\right)}=-\frac{2}{u-1}+\frac{3}{u-2}.$$ Интегрируем $$-\ln\left|x_{1}\right|+\tilde{C}=\int\frac{u+1}{\left(u-1\right)\left(u-2\right)}du=\int\left(-\frac{2}{u-1}+\frac{3}{u-2}\right)du=$$ $$=-2\ln\left|u-1\right|+3\ln\left|u-2\right|,$$ $$\ln\left|\frac{\left(u-2\right)^{3}}{\left(u-1\right)^{2}}x_{1}\right|=\tilde{C},$$ $$\frac{\left(u-2\right)^{3}}{\left(u-1\right)^{2}}x_{1}=\pm e^{\tilde{C}}=C.$$ Заменим обратно: $$\frac{\left(\frac{y_{1}}{x_{1}}-2\right)^{3}}{\left(\frac{y_{1}}{x_{1}}-1\right)^{2}}x_{1}=C,\quad\Rightarrow\quad\frac{\left(y_{1}-2x_{1}\right)^{3}}{\left(y_{1}-x_{1}\right)^{2}}=C,$$ а т.к. $x_{1}=x-1$ и $y_{1}=y-2$: $$\frac{\left(y-2-2\left(x-1\right)\right)^{3}}{\left(y-2-\left(x-1\right)\right)^{2}}=C,\quad\Rightarrow\quad\boxed{\frac{\left(y-2x\right)^{3}}{\left(y-x-1\right)^{2}}=C}.$$ Задание: решите № 116, 117, 118, 119.

Возможна, однако, и ситуация при которой систему ($\ref{sys}$) решить однозначно не удаётся, и тут возможно два варианта: решений нет и решений бесконечно много.

Если решений нет, это означает, что ранг матрицы коэффициентов меньше ранга расширенной матрицы коэффициентов. Так как уравнений всего два, ранг матрицы коэффициентов меньше двух, а значит сама эта матрица вырождена.

Если решений бесконечно много, это само по себе означает, что матрица коэффициентов вырождена. Таким образом, если систему ($\ref{sys}$) не получается решить, то строки матрицы коэффициентов линейно зависимы, и существует такое число $\alpha$, что $$\alpha\left(ax+by\right)=px+qy.$$ (За исключением, конечно, случаев, когда $ax+by=0$, но тогда и исходное уравнение не будет типа ($\ref{eq:ob_odn}$).) В этом случае $$y'=f\left(\frac{ax+by+c}{px+qy+r}\right)=f\left(\frac{ax+by+c}{\alpha\left(ax+by\right)+r}\right)=g\left(ax+by\right),$$ и уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными (на прошлом занятии мы рассматривали, как).

Например, № 114 $$\left(2x+y+1\right)dx-\left(4x+2y-3\right)dy=0.$$ Составив систему $$\left\{ \begin{array}{c} 2x_{0}+y_{0}+1=0,\\ 4x_{0}+2y_{0}-3=0, \end{array}\right.$$ вычтем второе уравнение из первого, умноженного на 2, и получим 5=0, чего не бывает ни при каких $x_{0}$ и $y_{0}$. Но уравнение можно представить в виде $$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y+1}{4x+2y-3}=\frac{2x+y+1}{2\left(2x+y\right)-3},$$ а его легко решить, заменив $2x+y=z$

Задание: доведите до конца № 114 и решите № 115.

Наконец, некоторые уравнения сводятся к однородным заменой вида $y=z^{\alpha}$, гда $\alpha$ – константа. Например, №124:

$$ydx+x\left(2xy+1\right)dy=0,$$ которое можно представить в виде $$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x\left(2xy+1\right)}.$$ Выполним замену: $$\alpha z^{\alpha-1}z'=-\frac{z^{\alpha}}{x\left(2xz^{\alpha}+1\right)}$$ $$\alpha z'=-\frac{z}{x\left(2xz^{\alpha}+1\right)}$$ Уравнение будет однородным при $\alpha=-1$: $$-z'=-\frac{\frac{z}{x}}{\left(2\frac{x}{z}+1\right)}$$ Заменим $z=ux$ $$u'x+u=\frac{u}{\left(2\frac{1}{u}+1\right)}$$ и разделим переменные $$u'x=\frac{u}{\left(2\frac{1}{u}+1\right)}-u=\frac{u^{2}}{\left(2+u\right)}-u=\frac{\left(u+2-2\right)u}{\left(2+u\right)}-u=$$ $$=u-\frac{2u}{\left(2+u\right)}-u=-\frac{2u}{\left(2+u\right)},$$ $$\int\frac{u+2}{2u}du=-\int\frac{1}{x}dx,$$ $$-\ln\left|x\right|+\tilde{C}=\int\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{u}\right)du=\frac{u}{2}+\ln\left|u\right|,$$ $$\tilde{C}-\frac{u}{2}=\ln\left|u\right|+\ln\left|x\right|=\ln\left|ux\right|,$$ $$ux=\pm e^{\tilde{C}-\frac{u}{2}}.$$ Обратно: $ux=z$ $$z=\pm e^{\tilde{C}}e^{-\frac{z}{2x}}=Ce^{-\frac{z}{2x}},\qquad C\equiv\pm e^{\tilde{C}},$$ $z=\frac{1}{y}$ $$\frac{1}{y}=Ce^{-\frac{1}{2xy}},\quad\Rightarrow\quad\boxed{\frac{1}{y}e^{\frac{1}{2xy}}=C.}$$

Задание: решите № 121, 123, 125, 126.