Филиппов А.Ф. «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», номера: 268, 272, 280, 282, 316 — 325.
А насчёт 304 — я сходу не сообразил, что можно так и заменить \(xy=z\). Тогда \( xy’+y=z’\),
\[
x^2 y’=\left( \frac{z}{x} \right)^{\prime}=x^2 \frac{z’x-z}{x^2}=z’x-z,
\]
и исходное уравнение
\[ (xy’+y)^2=x^2y’ \]
превратится в
\[ (z’)^2=z’x-z,\quad\Rightarrow\quad z=z’x-(z’)^2, \]
а оно уже разрешено относительно \(z\). К нему применяем метод введения параметра, т.е. заменяем \(z’=p\) — и дальше всё понятно:
\[z=px-p^2,\quad dz=pdx+xdp-2pdp=pdx,\]
\[(x-2p)dp=0,\]
1) \( x-2p=0 \)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=2p, \\
z=p\cdot 2p-p^2=p^2,
\end{array}
\right.
\quad\Rightarrow\quad
y=\frac{z}{x}=\frac{p^2}{2p}=\frac{2p}{4}=\frac{x}{4}.
\]
2) \(dp=0\), \(p=C\),
\[
z=Cx-C^2,
\quad\Rightarrow\quad
y=\frac{z}{x}=\frac{Cx-C^2}{x}=C-\frac{C^2}{x}.
\]
