Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Филиппов А.Ф. «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», номера: 268, 272, 280, 282, 316 — 325.

А насчёт 304 — я сходу не сообразил, что можно так и заменить $xy=z$. Тогда $xy’+y=z’$,

$$x^2 y’=\left( \frac{z}{x} \right)^{\prime}=x^2 \frac{z’x-z}{x^2}=z’x-z,$$
и исходное уравнение
$$(xy’+y)^2=x^2y’$$
превратится в
$$(z’)^2=z’x-z,\quad\Rightarrow\quad z=z’x-(z’)^2,$$
а оно уже разрешено относительно $z$. К нему применяем метод введения параметра, т.е. заменяем $z’=p$ — и дальше всё понятно:
$$z=px-p^2,\quad dz=pdx+xdp-2pdp=pdx,$$
$$(x-2p)dp=0,$$
1) $x-2p=0$
$$\left\{ \begin{array}{l} x=2p, \\ z=p\cdot 2p-p^2=p^2, \end{array} \right. \quad\Rightarrow\quad y=\frac{z}{x}=\frac{p^2}{2p}=\frac{2p}{4}=\frac{x}{4}.$$
2) $dp=0$, $p=C$,
$$z=Cx-C^2, \quad\Rightarrow\quad y=\frac{z}{x}=\frac{Cx-C^2}{x}=C-\frac{C^2}{x}.$$