Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

30.10.2021

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-012 в 8:30 в сб. 30.10.2021 (Даишев, Кузнецова № 6.16, 7.1, 7.2, 7.13, 7.14)

Формула Коши была выведена в прошлый раз: f(z0)=12πiCf(z)zz0dz, где f(z) – функция, аналитичная во всей области комплексной плоскости, ограниченной замкнутым контуром C, z0 – точка из внутренности этой области.

Найдём от обеих частей этой формулы z0: f(z0)=12πiCf(z)(zz0)2dz,f(z0)=22πiCf(z)(zz0)3dz,f(z0)=62πiCf(z)(zz0)4dz, и в целом (желающие могут доказать методом математической индукции): f(n)(z0)=n!2πiCf(z)(zz0)n+1dz. Даишев, Кузнецова, № 6.16 |z2|=3ezz3(z1)dz

Крестики — разрывы подынтегрального выражения

Для этой задачи решение приведено в самой методичке, но я предложу своё, содержащее больше алгебры и меньше геометрии. Разложим 1z3(z1)=(1z)+zz3(z1)=1z3+1z+zz2(z1)=1z31z2+1z+zz(z1)= =1z31z21z+1z1. Тогда |z2|=3ezz3(z1)dz=|z2|=3ezz3dz|z2|=3ezz2dz|z2|=3ezzdz+|z2|=3ezz1dz Функция ez аналитична во всём круге, ограниченном контуром интегрирования, точки z0=0 и z0=1 принадлежат кругу внутри окружности интегрирования, поэтому применим формулу Коши: |z2|=3ezz1dz=2πie1=2πie |z2|=3ezzndz=2πi(n1)!dn1ezdzn1|z=0=2πi(n1)! |z2|=3ezz3dz=2πi2!=2πi2,|z2|=3ezz2dz=2πi1!=2πi,|z2|=3ezzdz=2πi0!=2πi, тогда |z2|=3ezz3(z1)dz=|z2|=3ezz3dz|z2|=3ezz2dz|z2|=3ezzdz+|z2|=3ezz1dz= =2πi(12+1+1)+2πie=2πi(e52). Задание: № 6.15, 6.17 – 6.20.

Теперь вспомним ряды Тейлора. Ряд Тейлора для функции f(z) вокруг точки a имеет вид f(z)=n=0an(za)n Для разложения данных функций применяются табличные ряды, известные с первого курса, и подходящие к каждому отдельному случаю приёмы. Например, № 7.1 п.1) z3=[(z2)+2]3=8+12(z2)+6(z2)2+(z2)3=n=0an(z2)n, где a0=8, a1=12, a2=6, a3=1, an=0 (n>3). Сходится этот ряд везде.

п.3) Как известно, cosx=k=0(1)k(2k)!x2k. Поэтому zcosz=zcos(zπ)=(zπ+π)cos(zπ)=(zπ)cos(zπ)πcos(zπ)= =(zπ)k=0(1)k(2k)!(zπ)2kπk=0(1)k(2k)!(zπ)2k=k=0(1)k+1(2k)!(zπ)2k+1+k=0π(1)k+1(2k)!(zπ)2k=n=0an(zπ)n, где a2k=π(1)k+1(2k)!, a2k+1=(1)k+1(2k)!. Как сумма двух сходящихся везде рядов, этот ряд тоже сходится везде.

п.5) Как известно, 11x=k=0xk. Поэтому 11z2=k=0z2k. № 7.2 п.1) z0eϰ2dϰ=z0n=0ϰ2nn!dϰ=n=0z2n+1n!(2n+1) Задание: № 7.1 и 7.2 – всё, что осталось.

Ряды Лорана отличаются от рядов Тейлора тем, что простираются в бесконечность в обе стороны: f(z)=n=an(za)n. Сходятся эти ряды в областях на комплексной плоскости, которые представляют собой кольца с центром в точке разложения a. Границы этих колец - окружности с центром в точке a и проходящие через точки разрыва функции f(z).

Ряд Лорана можно представить в виде f(z)=1n=an(za)n+n=0an(za)n, где первая часть (с отрицательными степенями) называется главной, а вторая – правильной.

№ 7.13 Разложить в ряд Лорана вокруг 0: (z1)2z=z22z+1z=1z2+z, что уже есть ряд Лорана с главной частью 1z, и правильной 2+z.

№ 7.14 Разложить в ряд Лорана вокруг 0: zz2(b+c)z+bc=z(zb)(zc)=1bc(bzbczc)=1bc(11zc11zb)= =1bc(n=0(zc)nn=0(zb)n)=1bcn=0(1cn1bn)zn=n=0bncn(bc)bncnzn.

Задание: № 7.12, 7.15, 7.16.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников